3 不等式的证明方法及其应用准则

3。1 基本不等式法

常见的基本不等式有： (a+b)/2≥√ab  (a>0，b>0) (当且仅当a=b时等号成立)。

a^2+b^2≥2ab (a，b∈R)(当且仅当a=b时等号成立)。

最值定理：当两个正数a，b的和是一定的时候，它们的乘积是有最大值的；当两个正数a，b的乘积是一定的时候，它们的和是有最小值的。这正是所谓的“积定和最小，和定积最大”。

根据两个基本不等式有不等式串：

√((a^2+b^2)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)  (a>0，b>0)，当且仅当a=b时等号成立。

这四项从左到右，第一项叫做平方平均数，第二项叫做算术平均数，第三项叫做几何平均数，第四项叫做调和平均数。这几种平均数是依次按大小排列的，也就是说，平方平均数大于等于算数平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数。