-
函数是高中数学的主线，函数思想是中学数学中最重要的数学思想，而数列本身就是特殊
- 上一篇：关于高中数学教材例题教学的思考
- 下一篇：高中数学让教材例、习题“浅入深出”，充分发挥其训练功能
的函数,故许多数列问题均可以从函数的角度去分析,去思考。
【关键词】函数，函数思想，数列，构造，图象，离散，前 n 项和，通项.
一、构造函数解决数列问题
构造函数的方法是数学中重要思想方法之一，不少数列问题的解决, 使用构造函数的方法，构思巧妙，
方法简便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果.
二、 an 与 n 的函数关系数列 所以经常可以借助函数 y = f ( x ){an } 的通项公式 an = f ( n ) 就是函数 y = f ( x ) 的特例，
来解决数列
{an } 的有关问题.
Sn
与
三、 S n 与 n 的函数关系
我们主要研究一下等差数列中
n
函数关系.由等差数列的前
n
项和公式
S n = na1 +
n ( n − 1)dd⎞⎛
d = n 2 + ⎜ a1 − ⎟ n 可知,当 d ≠ 0 时, Sn 是关于 n 的二次函数，点 ( n, S n )
222⎠⎝
在抛物线
y=
d⎞d2 ⎛
x + ⎜ a1 − ⎟ x
22⎠⎝
上,其图象是该抛物线上一系列离散的点.此
外,
Sn =
d2⎛d⎞
n + ⎜ a1 − ⎟ n
22⎠⎝
还可以变形为
Sn dd⎞⎛
= n + ⎜ a1 − ⎟
n22⎠⎝
,这表明点
⎛ Sn ⎞
⎜ n, ⎟ 在 直 线
⎝ n⎠
y=
dd⎞⎛
x + ⎜ a1 − ⎟ 上,
22⎠⎝
其图象是该直线上一系列离散的点.
四、 S n 与 d 的函数关系
54
由等差数列的前 n 项和公式 S n
于 d 的一次函数.
五、 S n 与 an 的函数关系
= na1 +
n ( n − 1)
d 可知,当 d ≠ 0 时,对于给定的 a1 和 n ，Sn 是关
2
对于等差、等比数列的通项及前 n 项和公式,经过变换,不仅可以得到一系列关于 n 、 d 、 q 的函数，
而且还可以得到关于 an 的函数.
(1)µÈ²îÊýÁеÄÇ° n 项和公式
S n = na1 +
由通项公式 an
n ( n − 1)a +a
d = 1 n ⋅n,
22
①
= a1 + ( n − 1) d 变形得: n =
an − a1 + d
( d ≠ 0) .
d
②
将②代入①,整理得
Sn =
a ( d − a1 )121
an + an + 1( d ≠ 0)
2d22d
a ( d − a1 )121
x + x+ 1( d ≠ 0 ) 上,
2d22d
其图
这表明点
( an , Sn )( n = 1, 2,3,) 在抛物线 y =
象是该抛物线上一系列离散的点.
(2) 等比数列的前 n 项和公式
Sn =
这表明点
列离散的点.
a1 (1 − q n )
a1qaq
−⋅ a1q n −1 = 1 −⋅ an ( q ≠ 1) .
1− q1− q 1− q1− q 1− q
aq⋅ x ( q ≠ 1) 上,( an , Sn )( n = 1, 2,3,) 在直线 y = 1 −