（2-9）

如果和两个函数是非周期序列，那么就要利用周期延拓将其变成周期函数，为了防止混叠现象的发生，令M>=A+B-1，使和分别延拓得下列函数：

                     （2-10）

                       （2-11）

综合可知：

                      （2-12）

这样原来的非周期卷积问题就变成了周期卷积问题，就可以用快速卷积法来计算了。

这样推广到二维的离散卷积函数也是如此，可用矩阵形式来表示。

2。2。2 大气湍流光学传递函数文献综述

波段透过湍流传播的过程是随着空间和时间变化的过程，大气湍流是一个随机的过程，他能用相关函数或者协方差来表示，这在大气湍流函数中特别重要的。结构函数是通过光学传递函数OTF代表的，并且其结构就是在x和x + r间一个随机过程的差的平方，如下所示：

             （2-13）

而协方差函数为：

            （2-14）

所以结构公式和协方差的关系式：

                         （2-15）

大气湍流的结构函数遵循能量定律：

                          （2-16）

其中C是折射率常数。

大气中温度结构函数同样遵循能量定理：

                         （2-17）

而大气光的折射率在于光波长n，给定：

                       （2-18）

其中T为开氏温度，P为以毫巴气压。因为温度变化大，气压变化相对较小，所以大气折射率的改变主要还是由温度变化决定的，所以

                         （2-19）

其中是折射率结构函数的平方，为温度结构函数的平方

又因为非常依赖高度Z，所以经常被表示为，温度结构常数给定为：

                  （2-20）

其中为常数，通常设定为2。4，为湍流粘性力，为平均风速，是温度的平均垂直梯度[[[9] 马恒利。 成像技术研究[J]。 光学学报。 2014]]。

                  （2-21）

如果波线穿过大气，大气折射率变化改变波的振幅和相位。所以，相位涨落是图像退化的主要原因，简化讨论，波前表示为：

                      （2-22）

其中为相位。

波前的空间相关函数是：

         （2-23）

这是一个大气湍流光学传递函数OTF，假设相位的变化为零，即OTF=1，意味着大气湍流造成的退化是不存在的。转化为数学公式为：

                      （2-24）

K是一个实数，其中M(k)是概率分布函数的傅里叶变换函数：

                    （2-25）

所以

      （2-26）

然而折射率变化造成的波传播在垂直方向上的相位变化是：

                    （2-27）