1.2 有限元

1.2.1 有限元的定义

目前，在高等学校中，有限元法已经成为机械工程、土木建筑和车辆工程等专业的必修课和选修课，也是广大工程技术人员从事产品开发、设计和生产服务的重要工具。经过多年的努力，有限元法和相关应用软件在理论和工程应用方面取得了显著成绩，解决了许多工程问题，为经济建设作出了贡献。

有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。它先营养与机械、建筑结构的位移场和应力场分析，后很快广泛用于求解电磁学中的电磁场、传热学中的温度场、流体学中的流体场等连续场问题。

例如，弹性体受力后内部各个点的应力分布规律，物体受热后内部各个点温度的变化规律等，都可以用数学物理方程来描述，有限元法可以求这些数学物理方程的近似数值解。弹性力学中的平衡方程及应力边界条件就是描述应力分布规律的数学物理方程，用有限元法可以求得我们所需要的物理量，如应力、位移、温度等。由于这些数学物理方程往往以偏微分方程出现，能用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程技术问题，由于复杂边界条件、复杂物体形状、非线性等，求其精确的函数解一般很难，即使近似的函数解也不易求得。

对于这类问题,源!自%优尔>文)论(文]网[www.youerw.com，通常有两种解决方法：一种是简化假设，将方程和几何边界简化为能处理的问题，获得问题的简化条件下的解析解，但是过多的简化可能导致结果的不精确甚至错误；另一种是借助计算机技术的发展，采用数值计算方法求解复杂工程问题，获得问题的近似解。

目前，在工程技术领域，数值分析方法主要有有限元法，边界元法和有限差分法等，其中有限元法已成为当今工程问题中应用最广泛的数值计算方法。与电子计算机结合的有限元法，用分段函数代替整体函数，以适应各种复杂的边界条件，从而使许多过去不能求得的数学物理方程均能得到满意的近似数值解。有限元法解决了工程实践中用解析法难以或者无法解决的复杂工程问题，并得到了满意的结果。