静不定梁：            ；

静定梁：           ；

连续梁： ；

周蔚宇[28]介绍了奇异函数的定义和积分法则：

定义：              ，

              ；

积分法则：                       ；

                                 ；

并用奇异函数求梁的弯曲变形；殷祥超[29]在振动理论与测试技术一书中，以均匀简支桥梁为例，得出载荷在通过桥梁过程中桥梁的响应为：

 ；

1.3 国外研究现状

 随着经济和科技的进步与发展,越来越多的大跨度桥梁在世界各地不断完成或者是处于正在建造中。如日本的Akashi桥(主跨1990m),法国的Nornandy斜拉桥(856m),中国的江阴长江大桥(1385m)、杨浦大桥(602m)等。随着车辆的重型化、高速化和公路桥梁的柔性化,桥梁的结构变得越来越柔,阻尼也越来越小,从而使车辆与桥梁之间的振动变大了,桥梁结构的振动成为影响桥梁正常使用与安全的重要因素。1849年威利斯[30]得出结论:在移动荷载作用下,桥梁将发生振动,并将产生比相同的静止载荷作用下更大的变形和应力。1905年,俄国学者克雷洛夫假定移动荷载的质量比桥梁本身质量小很多,可以忽略不计,求出了在移动常力作用下的桥梁的振动方程,并且获得解较为精准。1911年铁木新柯[31]进一步推导出了在机车动轮偏心块冲击而引起的周期力作用下的桥梁的带系数的竖向振动的微分方程,求得了桥梁竖向振动响应的解值。1967年,捷克学者Koliusek[32]对工程结构在车辆作用下的动力响应做了进一步地分析,并第一次对不均匀的直梁和拱形梁作出了分析。1996年,意大利学者Glorgi和Monti[33]等人研究了多点激振下桥梁的非线性响应,他们比较分析了不同的波的输入方式,发现在输入周期相同的波的状态下设计出的桥梁,在不同的周期波的作用下,中间处出现了超强度的载荷，得出了在不同的周期波作用下，桥梁连接处要求由更高的塑性这一结论。2008年，D.Bruno[34]等人探讨了大跨度斜拉桥在移动载荷作用下的动力响应的问题，提出了动态影响因素的敏感性的分析，在无量纲的背景下，提出了量化的动态影响因素的位移和应力变量的结论。

通过诸多的国内外学者的不断研究，在利用奇异函数法以及Mathcad软件求解移动载荷作用下多跨桥梁的弯曲变形及振动响应取得了很多成就，这种方法大大简化了弯曲方程以及挠度方程的计算过程，对于绘制相应的变形曲线和响应曲线也提供了一种便捷快速的方式，对于桥梁设计的安全性、稳固性等方面都有重大意义。

1.4 研究内容与技术路线

本文要求用奇异函数表示移动车载作用下的桥梁的弯矩方程及挠度方程，并列出移动车载作用下桥梁的振动响应方程。用Mathcad软件分别求解时变的变形方程、响应方程，并绘制出车辆不同移动速度下桥梁的变形曲线及响应曲线。

2 奇异函数理论及Mathcad软件的简介

2.1 奇异函数的基本理论及应用

2.1.1 奇异函数的定义

通过学习 一书，了解到由于经典高等数学是建立在连续函数基础上的，因此运用经典数学来表述和处理力学中的一些集中量（例如，集中力偶，集中力，集中质量和冲击力等）和不连续问题（例如，阶形杆和阶形板等），就会受到限制，使问题变得十分复杂。而本文引入奇异函数这一方法，使关于集中量和处理不连续函数的微分和积分变得简单方便。