通常所说的奇异函数是指包括 函数、亥维赛阶跃函数等的一系列的函数族。奇异函数通常指的是下列函数族：其中   (2-1)

该函数族中 =-1的函数，即为通常所说的狄喇克 函数，其定义为：

2.1.2 奇异函数的微分及积分法则

(1) 微分公式  (2-2)

(2) 积分公式       (2-3)

2.1.3 奇异函数在材料力学中的应用

在材料力学中集中量与分布量是经常遇到的两种物理量模型，在传统力学中，当遇到因集中量造成的不连续时，往往将一个完整的问题进行分割式的处理。实际上，集中量与分布量可用统一的方法来处理，所用的数学工具就是奇异函数。

我们将几种常见外力的线分布集度的奇异函数表达式归纳如下：

表2-1 常见外力的线分布集度的奇异函数表达式

荷载类型 线分布集度函数

集中力偶

 集中力

    均布载荷

  分段均布载荷

  三角形分布载荷

分段三角形分布载荷

任意分布载荷

2.1.4 奇异函数求解梁的内力与变形

在传统的工程研究中，一般来说，通过经典力学的方法来分析桥梁上作用的不同移动载荷时，必须采用连续函数来对梁的受力情况进行表示，且其研究过程十分复杂繁琐。而本文将引入奇异函数法对梁的内力进行计算，应用奇异函数可避免在经典力学中存在的分段研究的过程，它用一个方程即可表达出梁各段的弯矩和剪力的变化情形，奇异函数法表达简练，便于计算，而且适于编制程序，以及利用计算机进行的内力的计算分析。因此，奇异函数是求解梁的变形的一种非常简便有效的工具。

如下图2-1所示的梁的受力图，我们应用奇异函数建立其弯矩方程。文献综述

图2-1 梁的受力图

由图2-1，可得全梁上外力的线分布集度函数：

                                       (2-4) 

 根据全梁上外力的线分布集度函数与剪力 和弯矩 的微分关系：

                                                   (2-5)

 上式(2-3)利用奇异函数积分法则积分一次即可得到剪力方程：

                              (2-6)

     上式(2-5)再积分一次即可得到弯矩方程：

                                            (2-7)

将上述方法推广到一般情形，若梁上同时受到 个力偶 和 个力 的作用。 和 的在梁上的作用点是 和 ，梁的长为 ， =1,2,3,...n。据叠加原则,写出全梁的剪力和弯矩方程。

     剪力方程 ：             

     弯矩方程 ：         

其中 包括支座反力， 包括支座反力偶。

若图2-1所示为等截面梁，抗弯刚度为 ，则梁的挠曲线微分方程为：