两种群L-V捕食-食饵模型分类及相关研究(2)
本文就以 Lotka-Volterra 模型出发，对相关的功能性反应、食饵增长率函数、捕食者死亡率函数进行了分类综述，让读者对相关的研究有更为系统的认识。本文也分析了两个具体模型奇点的稳定性，给出了一个比较简单的研究方法。 1.2 国内外研究现状与发展趋势 20 世纪 20 年代，微分方程的相关理论首次在生物学中得到了应用，Lotka与Volterra两位学者通过动力学研究方法创立了 Lotka-Volterra模型。虽然该模型被广泛运用，但也有其不合理的地方，1965年，Holling[1]在其实验基础上，将著名的Lotka-Volterra模型予以修改，对有不同特征的物种给出了三类功能性反应，它们都是不减的有界函数。在文献中最常碰到的依赖于猎物的功能性反应便是HollingⅠ，Ⅱ，Ⅲ型，尤其是 HollinⅡ型功能性反应，很多研究人员都对其做了深层研究。然则依赖于猎物的功能性反应并没有思量到猎食者的干涉，是以在实际情况中会碰到许多和事实相悖的情况。因而，Arditi 和 Ginzburg[2]从过去的依赖于猎物的模型，初次给出了依赖于比例的捕食者-食饵模型，即猎食者对猎物的功能性反应是猎食者和猎物数量比例的函数。当然与依赖于猎物的模型对照而言，依赖于模型表现的动力学行为更为复杂和丰富，作为对依赖于比率模型的改进，Beddington[3]和DeAngelis et aI[4]分别提出了Beddington-DeAngelis 功能性响应。 国内生物数学方面的研究者工作的重点主要是种群动态发展的数学模型部分，尤其是对HollingⅠ类、 Ⅱ类、 Ⅲ类响应函数的捕食-食饵模型作了全面的讨论，所得到的结论是世界上最完整的。与起初的模型对比，进来所研究的模型愈发向现实挨近，大概为 3 个方面：1.模型所涉及的因素增多；
2.模型维数上的增高；3.联系某些具体的现实问题作更加详尽的讨论。此类模型更符合现实，对它们的讨论有更大的现实意义。将进来的抽象成果应用于有着现实意义的模型而获得具有引导性意义的结果是当代应用数学的一大特性，所讨论系统的作用成分一般表现在响应函数、共同防御、时滞、岁数或性别构造、非驻定、收获率或存放率等，得到的主要成果表现在均衡点的局部稳定或全局稳定性态、解的有界性、周期解、极限环、Hopf分支以及可恒久性等。 2. L-V 模型分类 2.1 初始模型 Lotka-Volterra系统是由美国生物学家、数学家Lotka和意大利数学家Volterra于1925年、1926年各自提出的[5]。Volterra假设：当猎食者�(�)不存在时，食饵�(�)的出生率是某一常数�，即 ����= ��(�) 其中 �为正常数，即内禀增加率。当猎食者�(�)存在时，单位时间内对于单位密度的猎物，每个猎食者捕捉到的猎物数是一常数�，则有： ����= (� − ��)� 假定猎食者捕捉到猎物后，当即转变为新的猎食者，其转变系数为�,猎食者的死亡率与密度�(�)成正比，比例系数为�。则有： ����= (��� − �)� 由此得到 Lotka-Volterra 模型： {����= (� − ��)�����= (��� − �)� 这是相对简易的 Lotka-Volterra 模型，它忽略了种群的密度限制情况。要是考虑密度限制情况，假定在无别的种群滋扰前提下，种群以 Logistic增长，则以上模型的两个方程中各自须要插入一项与种群大小成正比的密度限制项，可将模型改为： {����= (�1 − �11� − �12�)� ����= (−�2 + �21� − �22�)� 其中�1为食饵增长率， �2为捕食者死亡率； �11与�22分别反应两种群的密度制约；�12为单位时间内对于单位密度的猎物，每个猎食者捕捉到的猎物数，�21为转化系数与�12的乘积，反映了猎食者对猎物的转化本领。 对于经典的 Lotka-Volterra模型，可以发现它遵循着这样的框架： 猎物增加率=无猎食者时猎物的内禀增加率-总的被捕获率 猎食者增加率=无猎物时猎食者的死亡率+单位时间内猎物转化为猎食者的数目 若是假设被捕获的猎物，按正比关系全数转变为新的猎食者，那么捕食-食饵模型的普通形式为：
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