1。3国内外研究现状以及提出的问题

凸函数是高等数学中一个很有用的函数类，它的实际应用十分广泛。函数的凹凸性是数学分析中的一个的概念，在学习过程中我们经常可以用到凸函数来研究函数的极值、图像以及不等式等问题。凸函数最早的概念出现在詹森的著述中，随之便在纯粹数学和应用数学的众多领域中得到广泛应用。随后在上世纪五十年代，伴随着数理经济学等数学学科的兴起，凸函数作为数学分析的一个含金量很大的部分逐渐得到了发展。现代对于凸函数的研究更是着眼于凸函数的定义与性质等理论层次的问题，然后将其和实践应用相结合，比如用这套理论知识来主导经济规划等区域，在后来的研究中也提出了拟凸函数和广义凸函数等的定义，也是有很广泛的应用。另外，凸函数在不等式方面的使用，也为不等式的证明与求解领域提出了一个新的思路。在当代数学中，凸函数已经成为数学规划等学科的研究基石和优良工具，在应用的同时得到了极大的发展。因为凸函数拥有的性质和在实际研究中的广泛应用，所以我们需要进一步的在凸函数的性质与应用层次进行分析和研究。

第二章  凸函数的定义文献综述

这一章的内容主要是对凸函数的定义进行解释和说明。

定义2。1[1] 记为定义在区间上的函数，我们任取区间上的两点和实数后，如果有以下不等式总是成立：,

则我们把称为区间上的凸函数。

另：若上式在“”改作“”的时候仍然成立，则称之为区间上的严格凸函数。

定义2。2[2] 记为定义在区间上的函数，我们任取上的三点，如果以下不等式总至少成立一个：,

那么我们可以把称为区间上的凸函数。

另：若上式在“”改作“”的时候仍然成立，则称之为区间上的严格凸函数。

定义2。3 记为定义在区间上的连续函数，我们任取上的两点，如果有以下不等式一直成立：,

那么我们可以把函数称为区间上的凸函数。

定理2。1 记为区间上的连续函数，如果取上的任意两点，以下不等式恒成立：,

则我们把称为区间上的凸函数，且在区间内的图形是下凸的。

定义2。4[3] 记为定义在区间里的一个函数，若的切线总是能够存在于曲线以下，那么我们可以称为定义在区间上的凸函数。若在切点以外的所有的点处的切线总是严格维持于曲线的下部，那么我们可以称为定义于区间上的严格凸函数。来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-

定理2。2（判定定理）[4-5]记为定义在区间上的可导函数，那么递增是是在区间上的凸函数的充要条件。

证明：（充分性）任取区间上的两点，可设且任取，定义,那么或者(1)

又因为

，

所以(1)式等价于(2)

又因为Lagrange定理，,

可知存在使得但是   

所以(2)式左部

又因为我们早先知道了是递增的，所以，那么就得到了上式，所以(2)式得到了证明。

（必要性）由已知，可知在区间内是递增的，又因为存在，所以在区间内也是递增的，记区间的右端点为,据已知可知在点处的左导数是存在的。任取，可得下式成立：差不多的，如果这个区间的左端点是可以取到的，那么我们把它记成，然后我们就能得出。