性质3。4 设，，，，则

式中是矩阵中第行第列的元素。   

定义3。1 矩阵的共轭转置（或）定义为：, 或 。 其中表示矩阵行列上的元素，表示标量的复共轭。

如若

则性质3。5 设，，则

证  因为

同理可证。                                       

性质3。6 设分别为阶和阶可逆矩阵，则也为可逆矩阵，且

证  由（3-1），有由（3-2）、（3-3）、（3-4）知，对于Kronecker积，转置和求逆的反序法已不再成立，这也是与通常的矩阵乘法的主要区别之一。

性质3。7 设，，则

证  与的标准形为与，即       （3-5）

其中分别为阶、阶、阶和阶非奇异矩阵，且,

中数1的个数为，中数1的个数为。

由式（3-5），有,

于是，由性质3。4，有

由性质3。6，，均为非奇异矩阵，故,

而的秩为，于是

性质3。8 设为阶矩阵，为阶矩阵,则有相似于。

证  容易验证，对矩阵进行一系列“相合”变换（这里指对调矩阵的第行与第行，然后再对调第列与第列），可以变成，即存在一个阶置换矩阵（有限个初等矩阵的乘积），使,

同理，对矩阵也有,

再由此种初等矩阵的性质，知，于是

性质3。9 设的特征值是，的特征值为，则的特征值是。

3。2 本章小结

本章主要归纳了矩阵的Kronecker积的一些基本性质，并且给出了相关证明，使我们能更直观深入的了解矩阵的Kronecker积。 下一章我们将继续详细介绍一些特殊矩阵的Kronecker积，加深对矩阵的Kronecker积的理解。

第四章特殊矩阵的kronecker积的性质

4。1  常见特殊矩阵

定义4。1 若是两个方阵的Kronecker积保持原来方阵的某一性质，则称这个性质是矩阵的Kronecker积的不变性。

    从定义及基本性质可知，对角、对称、Hermite、正交、正规、非负、正定、置换等都遵循矩阵的Kronecker积的不变性，我们会在接下来详细说明。

    性质4。1 若均为对角矩阵时，则也是对角矩阵。文献综述

性质4。2 若均为对称矩阵时，则也是对称矩阵。

定义4。2  设是一个阶复矩阵，为的共轭转置，，则将称为Hermite矩阵。 若，则称之为反Hermite矩阵。

性质4。3 若均为Hermite矩阵时，则也是Hermite矩阵。

定义4。3 满足条件或的任何实方阵A称为正交矩阵。

定义4。4 设为阶实矩阵，如果，即，则称为阶次正交矩阵，其中表示的次转置。

定义4。5 设矩阵,

我们把下面的矩阵

称为的次转置，记为。

    性质4。4 若均为正交矩阵时，则也是正交矩阵。

    性质4。5 若均为次正交矩阵时，则也是次正交矩阵。

证  因为均为次正交矩阵,从而于是                   

同理可证 即次正交矩阵的Kronecker积还为次正交矩阵。

    定义4。6 设矩阵，如果，则称A是正规矩阵。

性质4。6 设是n阶正规阵，则也是正规阵。

证  因为均为正规阵，则

由性质3。4和3。5，可知

即也是正规阵。

    定义4。7 设，若是（或者）对全部都成立，则称为非负矩阵（或者正矩阵），记作（或者）。