1。1  背景介绍

在16世纪，人们解代数方程时遇到许多困难，因此引入复数这个概念，希望能够解决已经存在的许多难题。在17世纪到18世纪，微积分开始兴盛发展，人们发现复数可能能够帮助解决一些问题，所以慢慢重视起复变函数的研究，尤其是由实变初等函数扩展到复变的领域内，获得了许多不错的成果。源-于,优Z尔%论^文.网wwW.yOueRw.com 原文+QQ752018~766

刚开始，人们并不了解复数，所以单纯地从形式上引进复数。而且在18世纪以前，因为人们对于复数的相关概念阐述得不够透彻，不够严谨，用它们进行演算和推理得到了互相冲突的结果，所以在历史上复数的发展有过很长一段时间的沉寂。而在18世纪，复数的几何意义和物理意义逐步被J。L。R。达朗贝尔与L。欧拉等人所阐明，复数的概念也越来越清晰，并且把复数和复变函数应用于研究流体力学等方面的问题。从这个时候开始，复数才逐步为人们所接受，复变函数论因此才有了逐步向前的发展。

基本是到19世纪才奠定了复变函数的理论基础。A。L。柯西、K。T。W。魏尔斯特拉斯和G。F。B。黎曼都是这一时期杰出的代表人物。柯西开始利用积分来探索复变函数，而魏尔斯特拉斯则通过级数来发展复变函数，黎曼也开始对复变函数映射性质的理论研究。

到了20世纪，复变函数论逐渐成为一门庞大的数学分支因为它的范围不停地增长变大，它的理论持续地丰富完善。在复变函数的解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间以及多复变函数等方面，全部获得了众多重要的成果。这里面有些问题是在复变函数论本身的发展中提出的，另外一些则是由实际问题或其他学科中提出的。对于自然科学的其他部分（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）以及数学中其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等），复变函数都有及其重要的应用。

在复数中，解析函数是最重要基本的内容。而调和函数与解析函数息息相关，本文重点介绍调和函数。

2 调和函数的定义和基础性质

本章内容大部分用来描述调和函数与解析函数的关系。主要分为两个步骤：首先阐述了调和函数和共轭调和函数的定义，给出了一个联系解析函数和调和函数的定理，为后面由调和函数求解析函数作铺垫。然后在前面理论的基础上介绍了三种由调和函数求解解析函数的方法，并且通过例子来进行应用。

2。1  调和函数的定义和性质

先来介绍调和函数和共轭调和函数的定义。

定义2。1。1  如果二元实函数 在区域 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，也就是满足方程 的函数 称为区域 内的调和函数。这里 是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。

定义2。1。2  在区域 内满足C。-R。方程,即满足下面两个方程

 ,

的两个调和函数 ， 中， 称为 在区域 内的共轭调和函数。

由上面的定义，我们容易得出定理2。1。1。

定理2。1。1 若 在区域 内解析，则在区域 内的 必为 的共轭调和函数。

2。2  由调和函数求解析函数

参考文献 通过C。-R。方程给了我们在已知实值调和函数 求解共轭调和函数的方法，但是这个方法必然需要计算线积分，计算起来很麻烦，不利于我们的使用，而在另外的学科中很容易会遭遇这个问题，为了解决这类问题，下面将给出几种比较简捷并且实用的其他方法。

下面我们介绍第一种新的方法，即偏积分法。