感知压缩理论中信号重构算法(2)
量的关注并不断地发展。
2 压缩感知理论
2．1 传统感知和压缩感知
传统感知的方式是先采样后处理。目前的数码相机，摄像机基本如此，感光元件
CCD 或者是 CMOS 先将光信号转化为数字图像信号，计算元件再将数字图像信号压缩
成图像文件。和传统的感知手段比较，感知压缩的采样更少，但是作为补偿计算过程
会更复杂。采样的优化意着采样的过程更快，采样的物质成本更低。例如，在计算
机断层扫描（CT） ，核磁共振成像（NMRI）和 X 光片(Radiography)中，采用压缩感知
可以缩短图像采集的时间，使诊断过程更加安全、舒适，同时也能使患者在检测中受
到辐射更少，所付出的检查费用降低。
但是，另一方面，压缩感知不是万能的。由于传统感知采样更多，后期的压缩方
式更加灵活，最终获得的图像信息更加完整。这两种感知方式各有优劣，它们适用于
不同的需求，以达到不同的目的，组合使用效果会更佳。
然而，压缩感知是一种新的感知方式，理论还在发展完善的过程中，这导致许多研究者和工程师对它的理论和计算还是不甚了解。接下来，本文会简要介绍一下压缩
感知的基本理论和算法。2．2 压缩感知理论
2．2.1 压缩感知理论的提出
我们知道任何感知无处不在， 在获取信息的过程中， 我们希望实现这样一个目标，
就是用尽可能少的数据记住更多的信息。
近些年，由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和 D. L. Donoho 等人提出了
压缩感知理论(Compressive Sensing(CS))，这是一种充分利用信号稀疏性和可压缩
性的全新信号采集、编解码理论。该理论指出：只要信号能在某个变换域内稀疏表示
出来，或者是说可压缩的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得
高文信号压缩到一个低文空间上， 然后通过求解一个最优化问题就可以从这些少量的
低文信号中以高概率重构出高文信号， 并且可以证明这样的低位信号中包含了重构高
文信号的足够信息。 压缩感知理论在信号的获取方式上革命性地突破了传统的奈奎斯
特采样定理，实现了在对数据获取的同时进行较大的压缩。
尽管压缩感知是由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和 D. L. Donoho 等科
学家于 2004 年提出的。 但是早在上个世纪， 相关领域已经有相当的理论和应用铺垫，
包括图像处理、地球物理、医学成像、计算机科学、信号处理、应用数学等。
可能第一个与稀疏信号恢复有关的算法由法国数学家 Prony 提出。这个被称为
的Prony 的稀疏信号恢复方法可以通过解一个特征值问题， 从一小部分等间隔采样的
样本中估计一个稀疏三角多项式的非零幅度和对应的频率。而最早采用基于 1 l 范数最
小化的稀疏约束的人是B. Logan。他发现在数据足够稀疏的情况下，通过 1 l 范数最小
化可以从欠采样样本中有效的恢复频率稀疏信号。D. Donoho和 B.Logan 是信号处理
领域采用 1 l 范数最小化稀疏约束的先驱。但是地球物理学家早在 20 世纪七八十年代
就开始利用 1 l 范数最小化来分析地震反射信号了。上世纪 90 年代，核磁共振谱处理
方面提出采用稀疏重建方法从欠采样非等间隔样本中恢复稀疏 Fourier 谱。同一时
期，图像处理方面也开始引入稀疏信号处理方法进行图像处理。在统计学方面，使用
1 l 范数的模型选择问题和相关的方法也在同期开始展开。
压缩感知理论在上述理论的基础上，创造性的将 1 l 范数最小化稀疏约束问题与随
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