如果存在k个互不相同的数 , 使得 ,且 ，则称 为 关于变换T的一个黑洞，或称 为 关于变换T 的一组黑洞数，k 称为黑洞 的周长，表明黑洞的大小，黑洞中的每个数 都称为 关于变换T 的一个黑洞数。 

1。2几种常见数字黑洞

Kaprekar黑洞（重排求差黑洞）

设 为r进制下各位数字不全相同的m位自然数的集合（包括起首若干位数字为 0的假m位数）， 将 n 的各位数字从大到小排列得一数 ，记 ，称之为对n的重排求差运算，简称T运算。 

Kaprekar发现十进制的4位数至多经过7次重排求差运算可以归结为同一数，即取任一四位数 (它的各个位数的数字不能完全相同)，用其中的数字重排后组成一个最大数和一个最小数，求出两个数的差值。 再对差值重复上面的过程。 经过有限次操作，最后总会得到6174这个数，此后再操作都永远是这个数，这个数即所谓的四位黑洞数。 

西西弗斯数[1]

在古希腊神话中，暴君西西弗斯被罚推石上山，但无论他多么努力用多大的力气，那块巨石都在接近山顶时滚回山下，如此循环不息。 同样的事情也会发生在数学中。 若以任何一个自然数开始，得到其中偶数、奇数和全部数字的个数。 用这些数字组成一个新的数重复上面的过程。 经过有限次操作，最后必会得到123，再重复上述操作，依然会得到123，我们将“123”称为西西弗斯数，它也是一个数学黑洞。 论文网

水仙花数

任意找一个3的倍数的数，求出这个数的每一个数位上的数字立方和得到一个新数，然后再求出这个新数的每一个数位上的数字的立方和，。。。。。。，重复运算下去，就能得到一个固定的数，并且一定是153，370，371，407四个中的一个，我们称它们为水仙花数，它们都是数字“黑洞”。 

2。研究背景

2。1基本研究

     上世纪50年代，Kaprekar[2]发现十进制的4位数最多经过7次重排求差运算就会得到6174这个数后，相继有人对此问题进行了讨论，并将其推广到任意位数及任意进制进行深入探究。 

    杨之和张忠辅[3]在《角谷猜想和黑洞数问题的图论表示》一文中，从图论的角度对黑洞数进行研究。 他随意取了一个三位数186进行“重排求差”运算，发现：对任一个各位数字不全相同的三位数 , 不妨设 ，  , 则有 , 其中间一位数字必为9 , 首末两位数字之和也为9, 因而只要考察如下5个数:  990 , 891 , 792 。 693 , 594。  “重排求差”运算后, 必得495（黑洞），由此构造图：

从而，由特殊情况推及一般情况，T是 上的“重排求差”运算，由此我们可以构造图 (  ,T) 。 作者提出有以下性质：

（1）对任何x  ，T(x)  ;

（2）对x，y  ，x与y各位数字仅排列顺序不同，则T(x)=T(y);

（3）设x  ，m≥4， ,文献综述

   若m=2n-1,则an=9, an+1+an-1=8(或18), an+2+an-2=9, 。。。 , am-1+a2=9,am+a1=10;

   若m=2n, 则an+1+an=8(或18), an+2+an-1=9(或8), an+3+an-2=9, 。。。 , am-1+a2=9, am+a1=10;

（4）若m≥2，则(Nm ,T)中必有黑洞。 

    此外，作者还算出了：

    N2只有一个周长为4的黑洞{ 63 , 27 , 45 , 09 , 81}；

    N3只有一个周长为1的黑洞{496}；

    N4只有一个周长为1的黑洞{6174}；

    N5中有2个周长为4的黑洞，分别为：

{ 71973, 83952, 74943, 62964} 和 { 63954, 61974, 82962, 75933}；