如果存在k个互不相同的数 , 使得 ,且 ,则称 为 关于变换T的一个黑洞,或称 为 关于变换T 的一组黑洞数,k 称为黑洞 的周长,表明黑洞的大小,黑洞中的每个数 都称为 关于变换T 的一个黑洞数。 

1。2几种常见数字黑洞

Kaprekar黑洞(重排求差黑洞)

设 为r进制下各位数字不全相同的m位自然数的集合(包括起首若干位数字为 0的假m位数), 将 n 的各位数字从大到小排列得一数 ,记 ,称之为对n的重排求差运算,简称T运算。 

Kaprekar发现十进制的4位数至多经过7次重排求差运算可以归结为同一数,即取任一四位数 (它的各个位数的数字不能完全相同),用其中的数字重排后组成一个最大数和一个最小数,求出两个数的差值。 再对差值重复上面的过程。 经过有限次操作,最后总会得到6174这个数,此后再操作都永远是这个数,这个数即所谓的四位黑洞数。 

西西弗斯数[1]

在古希腊神话中,暴君西西弗斯被罚推石上山,但无论他多么努力用多大的力气,那块巨石都在接近山顶时滚回山下,如此循环不息。 同样的事情也会发生在数学中。 若以任何一个自然数开始,得到其中偶数、奇数和全部数字的个数。 用这些数字组成一个新的数重复上面的过程。 经过有限次操作,最后必会得到123,再重复上述操作,依然会得到123,我们将“123”称为西西弗斯数,它也是一个数学黑洞。 论文网

水仙花数

任意找一个3的倍数的数,求出这个数的每一个数位上的数字立方和得到一个新数,然后再求出这个新数的每一个数位上的数字的立方和,。。。。。。,重复运算下去,就能得到一个固定的数,并且一定是153,370,371,407四个中的一个,我们称它们为水仙花数,它们都是数字“黑洞”。 

2。研究背景

2。1基本研究

     上世纪50年代,Kaprekar[2]发现十进制的4位数最多经过7次重排求差运算就会得到6174这个数后,相继有人对此问题进行了讨论,并将其推广到任意位数及任意进制进行深入探究。 

    杨之和张忠辅[3]在《角谷猜想和黑洞数问题的图论表示》一文中,从图论的角度对黑洞数进行研究。 他随意取了一个三位数186进行“重排求差”运算,发现:对任一个各位数字不全相同的三位数 , 不妨设 ,  , 则有 , 其中间一位数字必为9 , 首末两位数字之和也为9, 因而只要考察如下5个数:  990 , 891 , 792 。 693 , 594。  “重排求差”运算后, 必得495(黑洞),由此构造图:

从而,由特殊情况推及一般情况,T是 上的“重排求差”运算,由此我们可以构造图 (  ,T) 。 作者提出有以下性质:

(1)对任何x  ,T(x)  ;

(2)对x,y  ,x与y各位数字仅排列顺序不同,则T(x)=T(y);

(3)设x  ,m≥4, ,文献综述

   若m=2n-1,则an=9, an+1+an-1=8(或18), an+2+an-2=9, 。。。 , am-1+a2=9,am+a1=10;

   若m=2n, 则an+1+an=8(或18), an+2+an-1=9(或8), an+3+an-2=9, 。。。 , am-1+a2=9, am+a1=10;

(4)若m≥2,则(Nm ,T)中必有黑洞。 

    此外,作者还算出了:

    N2只有一个周长为4的黑洞{ 63 , 27 , 45 , 09 , 81};

    N3只有一个周长为1的黑洞{496};

    N4只有一个周长为1的黑洞{6174};

    N5中有2个周长为4的黑洞,分别为:

{ 71973, 83952, 74943, 62964} 和 { 63954, 61974, 82962, 75933};

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