利用不动点定理证明欧拉方程组局部经典解的存在性
毕业论文关键词：流体力学欧拉方程组，迭代法，不动点定理，局部解
Abstract:In this paper, we mainly study the existence of classical solution of hydrodynamic Euler equations when it has damping.We mainly use the iterative method and the fixed point theorem to prove this conclusion.This method is applicable to all Euler equations and it is more popular than using symmetrizer of the system to symmetrize the Euler equations.
Keywords:The Euler equations of hydrodynamics,Iterative method, The fixed point theorem, local solution.
目录
1 绪论 1
1.1 流体力学与欧拉方程组 1
2 预备知识 2
2.1 流体力学Euler方程组推导 2
2.2迭代法 5
2.3 不动点定理 5
2.4 特征值、特征向量的求法 6
2.5 Growall不等式 8
3 欧拉方程组局部经典解存在性的证明 10
注 16
致谢 17
参考文献 18
1.绪论
流体力学与欧拉方程组
流体力学，是研究流体(液体和气体)的力学运动规律及其应用的学科.
描述理想气体运动的数学模型是如下的可压缩Euler方程组：
该方程组中的方程依次为质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程、状态方程.
其中 是理想流体的密度，速度，压力，比嫡和能，是 坐标下关于 的函数，且内能与速度和内能 的关系如下：
方程组是非线性双曲守恒律最重要的例子之一，它最大的特点和困难在于解中会出现间断现象.所以 方程组的研究长期以来为人们所重视，并且对其一文问题的研究已经形成了系统与完整的理论.
2 预备知识
2.1 流体力学Euler方程组推导[6]
质量守恒方程的推导
在所考察的区域中任取一光滑的闭曲面 ，其所围的区域记为 。根据质量守恒定律，在时间 内，区域 中流体质量的增加量 （其中 ），应等于在此段时间内经过边界 流入 中的流体的质量，而后者应该为 ，这样，质量守恒定律可写为如下的积分形式：
， .（2.1.1）
在所考察的函数连续可微的条件下，由格林公式，上式可改写为
， .（2.1.2）
于是，由 及 的任意性及被积函数的连续性，就得到质量守恒定律的微分形式如下：
，(2.1.3)
这通常称为连续性方程.
动量守恒方程的推导
根据动量守恒定律，在时间区间 内区域 中流体动量的增加量
应等于在此段时间内经过边界 流入 中的流体的动量，再加上此段时间内作用在 上的力的冲量,其中前者应为
而后者由作用在 上的体积力所构成的冲量及作用在 的边界 上的表面力所构成的冲量这两部分组成.
设体积力密度，即单位质量流体所受的外力，为 ，那么冲量的第一部分为
而作用在 上的表面力只有 外的流体对它的压力，故冲量的第二部分为 .
这样，动量守恒定律可写为如下的积分形式：
， .(2.1.4)
在所考察的函数连续可微的条件下，由格林公式，上式可写为
， ，(2.1.5)
其中 为二阶单位张量.
由上式，利用被积函数的连续性以及 与 的任意性，即得动量守恒定律的微分形式如下：
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