例 4（2010。16）如图，已知△ ABC ， AC BC 6 ，C 90。O 是 AB 的中点，

⊙ O 与 AC ， BC 分别相切于点 D 与点 E 。点 F 是⊙ O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长 交 CB 的延长线于点 G ，则 CG  。 

解：如图所示， 连接 OD ，则 OD AC  。由 C 90，

得到 OD

。因为 O 是 AB 的中点，所以 OD 是△ ABC 的中位线，即 OD 1 BC 3。2

又由于 AC BC 6 ， C 90，所以 AB 6

，得到 OB 3

。又因 OD ，

可得 ODF G 。由 OD OF ,可得 ODF OFD 。故 BFG OFD G 。

所以得到 BF BG OB OF 3

解析：本题中半个圆内切于一个等腰直角三角形中。解题过程为先将圆心与切点相连接， 构成三角形的中位线。由此形成平行线，可以根据对顶角相等和内错角相等得到一个等腰

BGF 。解题的关键在于求出 BG 长度。但是 BG 不能直接求得，要通过等腰三角形的性 质得到 BG BF ，由此得到 CG 的长度。题目结合了平行线的知识，学生见到平行线第一 反应就是从图中相等的角出发，这样对求 BG 的长度就简单了。

例 5（2008。15）如图，大圆O 的半径OC 是小圆O 1 的直径，且有OC 垂直于的直径

的切线 AD 交OC 的延长线于点 E ，切点为 D 。已知

的半径为 r ， 

则 AO = ； DE 

解：如图所示，连接 O1D 。

因为圆 O1 的切线 AD  交 OC 的延长线于点 E ，所以得到 O1D AE 。由题意知，

CO AO 2r ， O1D O1C r 。由切线长定理知， AD AO 2r 。 由 RT AOO 1 可

得 AO1 

r 。再根据由勾股定理得， AE2 AO2 OE2 且 O1E2 O1D2 DE2 。通过上

述两个等式可解得 DE 4 r 。论文网

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评析：本题中既有圆与圆内切又有圆与三角形相切。先根据两圆直径间的等量关系得到 两圆的半径关系。再将切点和圆心连接，由切线长定理得到 AD AO 2r 。最后由构造 出的直角三角形，运用勾股定理求解。在多种图形相切时，要先分清圆分别与什么图形相切。 从中分离出相切的图形，再运用相关知识进行求解。

例 6（2009。16）如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ABC 的内切圆圆心O ，且点 E 在半圆弧上。①若正方形的顶点 F 也在半圆弧上，则半圆的

半径与正方形边长的比是 ； ②若正方形

DEFG 的面积为 100，且 ABC 的内切圆半径 r 

圆的直径 AB = 

解：①如图所示，

根据圆和正方形的对称性可知：GH  1 DG  1 GF 。H 为半圆的圆心，不妨设 GH  a ，

则 GF 2a 。在直角三角形 FGH 中，由勾股定理可得 HF  a 。由此可得，半圆的半

径为 a ，正方形边长为 2a 。因此得到半圆的半径与正方形边长的比是

② 由 正 方 形 DEFG  的 面 积 为 100 ， 得 到 正方形 D E F  边 长 为 10 。

连接 EB 、 AE 、 OJ  、 OI  。又 AC 、 BC 是 O 的切线 ， 可 得 CJ CI ，