虽然不动点定理是一个很简单的定理，但在函数方程、微分方程、以及积分定理中都具有广泛的应用。函数的“不动点”理论虽然不是中学教材的必修内容，但在历年高考数学题中我们也可以经常看到不动点的影子，不动点定理的存在使一些困难的数学问题在无法想象中得到了解决，在学生平时的解题中，利用函数不动点主要解决的问题有求数列通项公式、解函数方程、证明不等式等，充分运用函数的相关性质是解决这些问题的着手点和关键。本论文选题正是在这个背景之下，通过对不动点定理在数学问题中的应用展开探索，归纳总结解题规律和解题方法，进而为一些数学问题的解决带来新思路和新方法。

1。2 研究现状与发展趋势

1。3 选题意义

不动点定理在有关函数、数列、不等式、方程以及解析几何等中学数学问题中都有涉及到，而递推数列的通项公式，证明数列的有界性问题、数列的单调性及收敛性等问题历来是高考的重点和热点题型，在本文我主要讨论利用不动点思想和方法去解决有关数列中的有关问题。在有些情况下我们无法用累加、累乘和构造方法化归等方法求解等差数列或等比数列的通项公式，因此我们可以利用不动点定理的研究内容，简化那些已知递推关系但又难求通项公式的数列综合问题。另一方面，与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，而且数列的单调性常常与有界性及收敛性相结合，从而利用不动点定理求递推数列的通项公式、有界性、单调性以及收敛性等问题具有深刻的理论意义和应用价值。

1。4 研究的基本内容

本文首先介绍了Banach不动点定理，并通过分析总结高考数学题中的数列问题，重点研究了以下三方面的内容： 

①利用不动点定理的性质和迭代思想，简化求解递推数列通项公式。文献综述

②以不动点定理为指导思想，探讨不同类型的特征函数对于不动点与数列有界性的关系。

③利用不动点和特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并利用不动点定理解决一些高考题。

本章主要介绍了选题的背景和研究现状，并对选题的意义以及研究的基本内容作了阐述，对不动点定理在中学数学问题中的应用作了概括性说明。

第2章 Banach不动点定理

2。1 有关概念

Banach不动点定理在分析学中具有极其重要的作用，通过对它的学习我们可以对已学过的知识有重新的认识，从而加深对有关知识的理解和掌握。

在数学中，不动点是指“被这个函数映射到其自身一个点”，即在函数 的取值过程中，如果点 使得 ，就称 为 的一个不动点。