摘要：在这篇文章中，我们为麦克斯韦方程提出了两个有效的分裂格式。 这些格式是能量守恒和无条件稳定的，且可以显式求解。 我们为这些格式建立了严格的误差估计，特别地，误差估计的常数仅为 。 数值结果证实了理论分析。 通过与一些已有算法的数值比较，显示了本文所给算法的良好性能。 85995

毕业论文关键词：麦克斯韦方程组，分裂方法，紧致格式，误差估计，最优估计

Abstract：Two efficient splitting schemes are developed for 3D Maxwell’s equations。 The schemes are energy-preserving and unconditionally stable, while being implemented explicitly。 Rigorous optimal error estimates are established for the proposed schemes, and especially the constant in the error estimates is only O(T)。 Numerical results confirm the theoretical analysis, and numerical comparison with some existing methods shows the good performance of the present schemes。源Q于W优H尔J论K文M网WwW.youeRw.com 原文+QQ75201.,8766

Keywords: Maxwell’s equations, splitting method, compact scheme, errorestimate ,optimal estimate

目录

1 引言 4

2。麦克斯韦方程组的LOD分裂技巧 5

3 空间离散化 6

4。分裂方法 7

5 能量守恒和误差估计 10

5。1 能量守恒 10

5。2误差估计 11

6  数值实验 15

结论 19

参考文献 20

致谢 22

1 引言

各向同性、均匀无损耗介质中麦克斯韦方程组是     其中  和 是电场和磁场, 常数 和 代表的是介电常数和磁导率。 该方程描述了电与磁的关系，且在工程应用中得到了广泛的应用。 在本文中, 我们考虑的问题 (1。1) 的初始条件

其中Ω=[a-,a+]×[b-,b+]×[c-,c+]，和周期性边界条件对  Ω×[0,T]。 麦克斯韦方程组 (1。1)有能量守恒定律 (ECLs)

和这些守恒律在电磁波的长期传播中非常重要。 此外，麦克斯韦方程还具有辛[2,3] 和多辛[4,5] 守恒律。 文献[4,6-9]中的算法具有许多有吸引人的特征，例如辛，多辛，能量守恒和动量守恒性，但这些算法需要大规模的计算机运算和存储而不方便使用。 为了改善求解麦克斯韦方程的计算效率，交替方向法（ADI）和局部一维技术（LOD）是个非常好的工具。 文献[5,10-14]中的ADI/LOD算法具有较高的计算效率，却不是保存能量的。 最近，Chen等人[15]通过将LOD技术与空间交错网格相结合，提出了求解三维麦克斯韦方程的能量守恒且无条件稳定的算法。 其他相关研究结果可以参考文献[16-18]等。 来自优W尔Y论W文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520,18766

上述大多数ADI/LOD算法在空间上精度低，这意味着我们需要在空间方向取足够细的网格才能获得问题的较精确的数值解。 显然，对于大规模计算问题、长时间积分问题或者波长距离传播问题等，这些算法会产生严重的色散误差和相位误差。 因此，我们渴望建立高阶算法以减小其在给定网格的上的色散和相位误差。 高阶紧致差分离散技巧就能够较好地模拟小尺度问题，其特性更接近谱或伪谱方法，同时还能适用于一般网格和边界条件。 这里我们仅考虑在空间方向上使用高阶紧致差分离散。 本文，我们着重研究麦克斯韦方程的高效能量守恒分裂算法。 将LOD技巧应用于麦克斯韦方程后，原问题就被分解成一系列的相互非耦合一维方程。 在这些子问题的基础上，我们为三维麦克斯韦方程提出了一系列分裂能量守恒算法。 通过快速傅立叶变换（FFT），这些算法还能够完全显式求解。 分裂算法构造过程中，我们引入了中间变量。 然而这些中间变量的引入使得算法收敛性的分析变得困难。 一般此类问题分析的思路是：直接在算法中消去中间变量从而得到不含中间参量的格式，进而对其进行收敛性分析。 然而，这一思路在本文分裂格式的收敛性分析中的应用显然是不现实的。 为了克服这一障碍，我们将利用能量守恒性直接分析带中间变量的子算法的收敛性，而不是直接消去子算法中的中间变量。 利用能量法，我们对所提出的算法严格地建立了最优阶误差估计，其中常量仅为 。 为了显示所提出算法的效果，进行了一些数值实验。