2  导数的概念与性质

2。1  导数的定义

定义1[1]   假设函数 在点 的某个领域内有定义，自变量在 ，函数相应的增量 ，若极限

存在，则称此函数 在 处可导，并称其极限值为函数 在点 的导数或微商，记作 。

假如上述极限不存在，那就说函数 在 不可导。论文网

定义2[1]（a）函数f(x)在点 的某个右领域 上有定义，若右极限

存在，则称这个极限值为 在 的右导数，记作 。

（b）与右导数类似，函数 在点 的某个左领域 上有定义，若左极限

存在，则称这个极限值为 在 的左导数，记作 。

（a）和（b） 统称为单侧导数。

2。2  导数的性质

性质1[2] 若 在点 处可导，则 在点 处连续。

性质2[2] 可导的偶函数,其导函数是奇函数；可导的奇函数，其导函数是偶函数。

性质3[2]可导的周期函数，其导函数仍是周期函数，且周期不变。

3  导数的应用

3。1  导数在物理中的应用

前面提到在17世纪的时候，科学发展遇到了一些迫切需要解决的问题，例如变速度运动物理的瞬时速度和加速度的问题，对这个问题的解决就成了导数在物理学上的典型运用。 

设一质点作直线运动，它的运动规律为 。若 为某一确定的时刻， 为临近于 的时刻，则   

    是该质点在时间段  上的平均速度。当  时平均速度 的极限存在，那么我

们可以称     

                                                                    （1）

为该质点在时刻 的瞬时速度。在以后的学习中，在计算如物质比热、线密度、电流强度等问题中，尽管物理背景各不相同，但是最终都会归结于讨论类似于（1）式子的极限。

例1 某物体运动方程为 ，其，时间单位为 ，位移单位为 ，速度单位为 ，求当 时物体的瞬时速度。

解 因为 ，所以 。当 时， 。

综上所述，当 时物体的瞬时速度为 。

3。2 导数在几何上的应用

3。2。1  计算曲线上任意一点切线斜率问题

根据导数的几何意义，导数 ，这里 为曲线上过点 的切线的斜率。由此还可求该点的切线方程： 

例2 求函数 在点 处的斜率以及切线方程。

解  ，所以 ，所以切线方程为： 

3。2。2判断函数凹凸性与拐点文献综述

定理1[2]设 为定义在区间 上的函数，若对 上任意的两点 和任意的实数 ，总有 

                 ，                   （2）

那么则称函数f为D上的凸函数。反之如果有

                 ，                    （3）

那么则称函数f为D上的凹函数。

      若(ii)、（iii）中的不等式改成严格不等式，则它相对应的函数称为严格凸函数与严格凹函数。

例3函数 就是典型的凸函数，而函数 在其定义域上就是典型凹函数。

设曲线 在点 处有穿过曲线的切线，且在切点近旁处，曲线在切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这是称点 为曲线 的拐点。