摘 要：本文讨论了调和级数敛散性的多种常用判别方法，并且探讨了广义调和级数，交错调和级数和不完整调和级数的敛散性，最后通过例题说明调和级数在判断其它无穷级数敛散性时的作用。

毕业论文关键词：调和级数，广义调和级数，交错调和级数，敛散性93625

Abstract: In this paper,we gave the discussion from different methods in harmonic series’ convergence and pergence。We also discussed the convergence of generalized harmonic series,alternating harmonic series and incomplete harmonic series。In the last,we illustrated the harmonic series in judging other series convergence effect。

Key words: harmonic series, generalized harmonic series,alternating harmonic series,     convergence and pergence

目   录

1  前言 4

2  调和级数相关概念 4

3  调和级数发散性的证明 6

4  广义调和级数敛散性的判别 8

5  m项交错调和级数敛散性的判别 9

6  不完整调和级数敛散性的判别 10

7  调和级数敛散性的应用 11

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1  前言来自优I尔Q论T文D网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

数项级数是大学数学分析中的主要内容之一，调和级数是级数中一个非常基础的正项级数，它结构简单，性质独特，在判别一些重要级数的敛散性时起到很重要的过渡作用。本文用不同的方法证明调和级数是发散级数，并讨论了广义调和级数， 项交错调和级数和不完整调和级数的敛散性，使学生了解并掌握判断级数敛散性的方法。

2 调和级数相关概念

定义1[1] 给定一个数列 ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

                             。        （1）

称为常数项级数或数项级数（也常简称级数），其中 称为该数项级数（1）的通项或一般项。

数项级数 也常写作 或简单写作 。

数项级数 的前 项之和，记为

                    。       （2）

称它为数项级数（1）的第 个部分和，也简称部分和。

定义2  形如 的级数称为调和级数，通常写作 。

定义3  若 ，则称级数 为正项级数。

定义4[1]  若数项级数 的部分和数列 收敛于 （即 ），则称数项级数 收敛，称 为数项级数 的和，记作

                 或  。

若 是发散数列，则称数项级数 发散。

定理1[1] （级数收敛的柯西准则）级数 收敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正整数 ，使得当 以及对任意的正整数 ，都有

                        。

     由判断级数收敛的柯西准则，我们可以推出判断数项级数发散的一个充要条件：即存在某正数 ，对任意的正整数 ，总存在正整数 和 ，有

                            。