性质4  若 是可逆矩阵，则 也是可逆矩阵，且 。

3  矩阵可逆的若干判别方法

3。1  定义判别法论文网

设 为 级方阵，如果存在 级方阵 ，使得 成立，那么 是可逆的，

且 。

定义判别法主要用于判别一些简单矩阵和非具体矩阵是否可逆。

例1  设方阵 ，求证： 可逆，并且  。证明  由 得同理可证 。

故 可逆，且 。

注  当 不是具体矩阵时，用定义判别简单有效。 证明 是 的逆矩阵时，验证 成立，是最直接的方法。

3。2  行列式判别法

定义3  设 是矩阵

 中元素 的代数余子式，矩阵 

称为 的伴随矩阵。

利用行列式展开公式得                         。

引理1[1]  级方阵 可逆的充要条件是 ，且当 时， ，其中 是矩阵 的伴随矩阵。

例2  判断矩阵

是否可逆？若可逆，求出逆矩阵。

分析  先用行列式不为零判别矩阵是可逆的，再利用伴随矩阵求出逆，这种方法比较适合二阶、三阶矩阵。

解  因为所以 可逆。又因为所以例3  设 分别为 级正交矩阵，且 ，求证 + 为不可逆矩阵。

分析  证明矩阵不可逆，题目中给出的条件也与行列式有关，很自然地想到证它的行列式等于0。 可以先利用正交矩阵的定义，将矩阵 + 拆成乘积形式，再取行列式，根据行列式的性质，就能给出证明过程。

证明  因为 分别为 级正交矩阵，由正交矩阵的定义知， , ，则 ,

两边取行列式得 ,

由行列式的性质有 ,

又因为 ，所以文献综述

由 可得又因为 ，所以 ,故 ，这样就得到了 ,

故 + 是不可逆矩阵。

推论1  设 为 级方阵，若 或 ，则 均为可逆矩阵，

且 , 。

证明  若 ，两边取行列式， ，故 ，因此 均可逆。

将 两边左乘 ，得到 ，所以有 。 同理可证 的情况。

例4  设 ，若有 可逆，求证： 也可逆，并求其逆。