我们每个人学习数学都是一个由简到繁到的过程，最早是从“数数”开始，从 ，到 ，然后越学越多，后来发现在某一个阶段全会数了，其实就是我们无形中运用了数学归纳法，我们知道每个自然数后面都有一个自然数，而且相邻的两个自然数，后面的总是比前面的大1，所以说数学归纳法在我们刚开始学数学的时候就已经开始运用了，它是数学中最基础的方法之一。

2。2  数学归纳法常用和演变的形式

   数学归纳法的理论依据来自于皮亚诺公理，任意一个自然数的集合，如果包含 并且假设包含 ，也一定包含 的随从 ，那么这个集合包含所有的自然数（后来 也算自然数，理中的 可换成 ），数学归纳法主要有如下几种。

     第一数学归纳法:当 时，命题成立；假设当 时命题成立，可以推导出 时命题也成立，那么命题成立。这种方法的原理是：首先证明在某个起点值（比如 或者 ）时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程是有效。当这两点都得到证明，那么任意值都可以反复使用这个方法推导出来。把它想象成多米诺骨牌就很好理解，例如一列很长的多米诺骨牌，先证明第一张牌倒，然后证明任意一张倒那相邻的牌就会倒，那么就可以得到所以牌都会倒得结论[2]。

    第二数学归纳法:当 时，命题成立；当 时命题成立，可以推导出 时命题也成立，那么命题成立。这种方法是在第一种方法的基础上拓展，更加完善了数学归纳法。

    跳跃归纳法:设 表示一个与自然数 有关的命题，若(1) 成立;(2)假设 成立，可以推出 成立,则 对一切自然数 都成立。       跳跃归纳法也是由第一归纳法中的定理和推论得来的，进一步丰富了数学归纳法[3]。

    倒推归纳法:设 表示一个与自然数 有关的命题，1)若 对于无限多个自然数成立，2)在 成立的假设下，可以推出 也成立，则命题成立。这种方法其实就可以看做归纳法的运用。

3  数学归纳法在中学数学解题中的应用

   我们在中学数学的学习中，往往会遇到很多证明，有些证明在用一般方法解答的时候可能会产生困难，这时我们改用数学归纳法证明，可能会产生意想不到的效果。

3。1  在证明恒等式中的应用

在恒等式的证明中数学归纳法往往是最有效、最直接的证明方法，其中包括证明三角恒等式、代数恒等式，组合数公式

例1  用数学归纳法证明： ,文献综述

    证  当 时, =   时等式成立，即有       ，

那么当 ，所以当 时等式也成立，由第一数学归纳法可知对于一切  ，等式

都成立。 

3。2   在证明不等式中的应用

    在证明不等式时，会出现两种情况，若果是严格不等式，那么证明就相对来说比较清晰简单；而对非严格不等式，有两类不同的观点，一种认为在首步中既要验证“=”的情况，又要验证“<,> ”的情况，如此才能充分体现非严格不等式成立；而另一种观点认为只要验证其中有一个成立，就可以说明不等式成立。我本人倾向第二种观点，在第一步证明中，有些起始值往往比较特殊，所以会出现“=”的情况，事实上如果有些等式需要更严谨的证明，一般来说还是会用到严格不等式。