向量法在中学数学解题中的应用
毕业论文关键词 向量；向量法；中学数学；解题；应用。
向量是既有大小又有方向的量,可以应用向量法解决代数问题和几何问题，向量法是他们解题的共同工具。向量具有数的性质和提点,还同时具有几何的性质与特点,因此向量可以作为一个媒介，将代数问题转化为几何问题,同时还可以将几何问题转化为代数问题.向量被引入中学数学教材后,扩宽了中学数学的知识面，丰富了中学数学解题体系,开放了中学学生解题思路与方法。文献[1-3]研究了向量法在代数解题中的运用;文献[4]研究了向量法在解决垂直问题中的运用; 文献[5]研究了向量法在距离问题解题中的运用;文献[6]研究了用向量法在解决角度问题中的运用;文献[7-9]研究了向量法在平行问题解题中的运用;文献[10]中为向量的概念、运算性质、向量法在几何解题中的应用。这些文献多为单纯的解题,缺少分析过程,不够全面透彻。
一、向量法概述
定义 l[10] 既有大小又有方向的量叫向量,或称矢量,简称矢。
定义 2[10] 向量的大小叫做向量的模,也称为向量的长度。向量 与 的模分别记做 与 。
定义 3[10] 两个向量 和 的模和它们的夹角的余弦值的乘积叫做向量 和 的数量积（也称为内积）,记做 或 ,即
。定义 4[10] 两个向量 和 的向量积（也称外积）是一个向量,记做 或 ,它的模是
,
它的方向与 和 都垂直。
定义 5[10] 给定空间的三个向量 , , ,如果先做前两个向量 与 的向量积,再作所得向量与第三个向量 数量积,最后得到的这个数叫做三向量 , , 的混合积,记做 或 或 。
定理 1[10] 设 , ,那么 。
定理 2[10] 设 ,那么 。
定理 3[10] 设 是直线 上的一个单位方向向量,线段 在 上的投影是 ,则有 。
定理 4[10] 设空间两个非零向量 和 ,那么它们的夹角余弦是:
。
推论 1[10] 空间中两向量 与 相互垂直的充要条件是 。
定理5[10] 空间任意两个向量 和 成立不等式:
。
推论 2[10] 空间任意两个向量 和 成立不等式:
。
推论 3[10] 空间任意两个向量 和 成立不等式:
。
定理6[10] 对空间任意两个向量 ,则 的充要条件是存在实数 使 。此定理也称作共线向量定理。
定理7[10] 存在唯一实数组 ,使得 ( 不共线)满足 ,则 共面。
定理8[10] 向量加法满足下列运算规律
（1） 交换律
（2） 结合律
（3）
定理9[10] 数量与向量的乘法满足下列运算规律
（1）
（2） 结合律
（3） 第一分配率
（4） 第二分配率
中学数学中有一些代数题用普通方法去解,过程和计算是很复杂的,很多学生会找不到解题思路,计算过程中出错，而向量运算法具有简单直接的解题优势，很多题型都可以用向量模与向量积的坐标表达形式进行转换,因此构造向量使用向量法能优化我们的解题。