矩阵特征值的计算估计及其应用(2)
在矩阵特征值的研究过程中，前人已经给出了其相关性质以及应用广泛的Gerschgorin圆盘定理 、Ostrowski定理 等等。在这些前人工作的影响之下，我们得到了许多矩阵特征值的计算方法，比如二分法 、Jacobi方法 、QR方法 ；在矩阵特征值估计方面也取得了不少成就，比如矩阵特征值的界的估计 、矩阵谱半径的估计 。
随着伴随矩阵 、广义Jacobi矩阵 、M-矩阵 、Hermite矩阵 及随机矩阵 等特殊矩阵广泛的应用，对这些特殊矩阵的研究也得到了人们日益的重视。
矩阵特征值的应用范围之广也是人们不断研究它的客观原因。本文中统计学方面的主元分析法 以及概率分布的Wasserstein距离 ，经济学方面的商品定价 ，物理学方面的惰性椭球原理 ，数学方面的Fibonaccis的数列问题 以及常微分方程组的稳定性的问题 都可以归结为矩阵特征值问题。如今人们不断地发现社会科学领域里的新需求，从而促进了矩阵特征值问题研究的深入。
本文首先在第二章介绍了矩阵特征值的相关定义以及性质，并对其连续性做了分析。在第三章，我们研究了一些特殊矩阵的特征值，并对相关矩阵特征值的计算、估计及其应用做了总结。在第四章，我们介绍了矩阵特征值的计算的几个方法，并对个别方法进行了优缺点比较。在第五章，我们对矩阵特征值的估计做了研究。第优尔章主要探讨矩阵特征值的若干应用。
2 矩阵特征值
2.1 矩阵特征值的定义
设 ，如果存在非零向量x，使得 ，则称 为A的特征值，x称为矩阵A从属于特征值 的特征向量，称n阶多项式 为矩阵A的特征多项式。显然A的特征值 是特征方程 的根 。
矩阵A的所有特征值 构成的集合称为A的谱 ，而特征值的最大模称为A的谱半径 ，即 。从几何角度，矩阵A的全部特征值都位于以原点为原心，谱半径 为半径的圆盘内 。
2.2 矩阵特征值的性质
矩阵特征值的性质
(1) 矩阵A的行列式等于所有特征值的积；
(2) 矩阵A的迹等于所有特征值的和；
(3) 0不是A的特征值 A可逆即A非奇异；
(4) 设 是任意多项式， 是A的一个特征值， 是从属于 的特征向量，那么 是 的一个特征值， 是从属于 的特征向量；
(5) 相似矩阵具有相同的特征值。
2.3 矩阵特征值的连续性
定理2.3.1 Ostrowski定理 ：设矩阵 ，矩阵A和B的特征值分别为 和 。令 ，那么可以得到存在矩阵B的特征值 ，对于矩阵A的任意特征值 ，使得 ；另外对任意的 ，能够找到 的一个适当的排列 ，使得有不等式 。
上述估计式中的 相对看起来描述有点不清晰，但是仍然可以描述出矩阵特征值的连续是依赖其元素的重要特性。而且该定理具体给出了与矩阵特征值的连续性相关的定量分析。
矩阵A中元素的连续函数我们描述为矩阵A的特征多项式的系数，那么显然n次多项式的n个根就都是矩阵A特征多项式系数的连续函数。所以，我们可以认为矩阵A的特征值作为其特征多项式的零点连续依赖于矩阵A的相关元素。
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