贝叶斯统计方法及其在金融市场的应用(2)
1.2 国内外研究现状数学理论是贝叶斯统计研究的基础。在理论研究上，变量的取值从传统的欧氏空间、拓扑空间推广到了仿射空间，对概率测度的选择也突破了 lebesgue 测度的局限。联合信息技术，尽量选择古典统计作为方法体系。研究成果涉及到理论研究和方法应用研究，包括先验分布、后验分布、 检验与估计、基于模型的推断方法、贝叶斯风险决策等，贝叶斯理论几乎包含了所有古典统计的研究内容。
1.2.1 共轭先验分布族的研究关于贝叶斯理论的先验分布和后验分布的概率结构是长期探讨的问题，符合柯尔莫哥洛夫概率公理体系的共轭分布族还在不断地分类中。分布族的密度函数在似然核结构上，定义了自然共轭分布族，它是基于 lebesgue 测度即该分布族具有似然核结构。而主要特征是抽样的封闭性的标准共轭分布族，也被一些数学家所使用。从这个意义上说，经过贝叶斯理论的规范，标准共轭分布族的后验分布依然可以由该族的先验分布推导出。在此定义下，大家已经有了明确的结论对于那些总所周知的分布。然而，抽样的封闭性并不是标准共轭族的充分条件，因为对任何密度函数，就某种测度（尤其是 lebesgue 测度）而言，具有不一定是似然核结构的似然结构的分布族都是封闭的在抽样中。就算这样，共轭族仍由抽样中的封闭性来确定。指数族似然是 ker Ylvisa 和Diaconis 提出的由先验分布族带来的被称为共轭的一个特殊的情况，他们挖掘出能够对正则参数的标准共轭族进行描述。这一结果使一些统计学家重新定义共轭，Consonni 和Veronese 认为所有服从于后验线性性质的为DY —共轭。然而，尽管这种定义比较明确的解释了共轭族的性质,不过DY －共轭族在某些条件下并不符合广义下的共轭族。现如今，统计学家们认为，共轭族是由关于抽样是封闭的来定义。根据该理论，在确定了以后的抽样过程中其本质上是随机的，那么我们就应该挑选出一个合适的先验类。针对指数分布族，E Gutierrez 和 A F M Smith，通过研究标准共轭族和 DY—共轭族，在共轭参数化的这一概念基础上，进一步延伸了DY—共轭族， 提出了“丰富的共轭族”。他们提供了一种一致渐给不同指数族的共轭族理论。关于重新参数化被考虑的指数族是这个理论重要的一个方向，也可以在具备大部分标准共轭族的性质的情况下更加灵活的推导先验置信。1.2.2 先验分布选择方法研究想要进行贝叶斯统计推断首先要做的是对先验分布的选定，主要分为两种，①共轭先验分布；②无信息先验分布。虽然先验信息是贝叶斯统计建立的基础，但有些情况下却是没有先验信息的，因此提出了无信息先验分布。Jeffrey 认为逻辑判断的对错不在于主观的判断，而是在于其自身。更一般的，Jeffrey 用Fisher 信息阵的平方根 ] 14 [作为先验。他认为先验不是一个独一无二的未知的代表，它是按方便的方式选择的。无信息先验分布应满足三点才可以顺利地进行理论和方法的数学推导。这三点是，①不变性；②普遍性和容许性；③边缘分布的相合性。多层先验是用来选择先验分布的又一种方法。多层先验是由先验和超先验构成，好处是不容易给出第一步的先验，为了能使错误结果的可能性降低，一般超先验选用的是无信息先验。通过先验信息选择先验分布已有一些方法。一是当历史数据或者经验足够多时，可以采用直方图法，用频率分布代替先验分布。二是当先验分布的函数族选定后，如果包括超参数，不妨根据原始信息估计数字特征的方式来选取参数，还可以通过估计多阶段分位数的方法确定超参数。三是定分度和变分度法。可以把值域分成多个区间，由具有丰富经验的人直接在各个区间上给出概率；变分度法是把值域由具有丰富经验的人确定分点分成概率相等的两个区间。四是边际分布密度法。充分利用共轭分布族，根据边际分布也是共轭族的成员建立标准，以确定先验分布类型。还有确定超参数的方法是根据似然原理和混合边际分布密度来确定。
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