概率密度函数的非参数估计及R语言图形展示(2)
1.1 研究现状
1.2 背景知识
统计学的研究内容大体上包括描述性统计和推断性统计两部分。描述性统计主要通过收集、处理、汇总，把数据用图表描述出来，并结合实际问题进行概括和分析；推断性统计主要考虑到一些实际问题的可测性及测量难度，以小见大，以样本反映总体，抽取部分样本进行测量，然后根据样本数据的特征推断总体的特征。推断性统计的方法很多，应用也十分广泛。下面我们先简单回顾概率论与数理统计的一些知识。
设 为随机变量，对任意的 ，令 ，则称 为随机变量 的分布函数。分布函数 具有以下性质：
（1） 为不减函数，即任取 ，则有 ；
（2） 为左连续函数，即 ；
（3） 满足归一性： ， 。
随机变量 的分布函数为 ，若存在非负函数 ，使得对任意实数 ，都有 ，则称 为连续型随机变量， 为概率密度函数。 具有以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3）任取 ， ；
（4）在 的连续点处，有 。
概率密度函数能够反映随机变量的统计特征以及分布情况，并能计算相应的期望、方差等数字特征，进而更好的研究该随机变量的实际意义。常见的连续型随机变量有：
均匀分布 ；
正态分布 ；
指数分布 。
在实际问题中，有些分布函数的参数未知，这时就需要根据样本数据估计总体，对总体的分布进行推断是反映总体特征的根本。典型的统计推断是参数估计与假设检验，大致步骤是从根据实际问题假定分布族开始的，事先假定总体的分布情况，抽取样本数据，然后通过样本数据计算必要的统计量，进而估计出总体分布中的参数，最后通过假设检验研究其估计的可信度。常用的参数估计方法有矩估计法和极大似然估计法。
矩估计法：设总体 的分布函数 中有 个未知参数 ，假设 的 阶原点矩 存在，并记 ，记 ，其中 。令 ，解得的 就是 的矩估计量。
极大似然估计法：设总体 的概率密度函数为 ， 为总体中的一个样本，相应的观察值为 ，定义样本的似然函数为
，
使 最大的 称为 的极大似然估计量。
然而，随着研究问题的复杂化以及数据量的膨胀，事先对总体做出必要的具体的假定越来越困难，不仅需要大量的背景知识，而且探索性问题的研究中总体的信息较为匮乏，例如在影响因素很多的经济学问题和社会问题。这就使得我们不能明确的假定出总体的分布形式，或者对总体的假定不合理从而造成损失，这时我们就要用到非参数统计方法，即不假设总体分布的具体形式，尽量从数据本身获取必要信息，进而估计出分布的结构。
2 非参数密度估计方法
概率分布是统计推断的核心，从某种意义上看，联合概率密度提供了关于所要分析变量的全部信息，有了联合密度，则可以回答变量子集之间的任何问题。概率密度函数的非参数估计方法就是在尽可能少的假定密度函数 的情况下来对 进行估计，记估计量为 ，而估计结果的质量将取决于带宽或窗宽 ，所以选择合适的 很关键。
2.1 直方图密度估计
直方图密度估计是最简单的非参数密度估计方法，应用广泛，类似于用直方图来描述数据的频率，因此而得名。
2.1.1 基本概念
以一元随机变量为例，假设在区间 上有 个数据 ，将区间 划分为 ， 那么有 令 为落在 中的数据个数[2]。
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