关于幻方的起源与发展的论文(2)
1.幻方的定义和性质
将数字安排列在正方形的格子中，使它每行每列以及对角线上的数字和相等所得到的即是幻方，而方格有几行几列这个幻方就是几阶幻方，而他们每行每列以及对角线相加的和就叫做幻方常数，经过几代人的研究我们发现了各种各样的幻方，如双重幻方，同心幻方，乘幻方，高阶幻方，广义幻方[4]，而今天我们主要介绍的就是最常见也最规则的我们称为标准幻方或者完美幻方.
对于幻方早在宋朝著名数学教育家杨辉在《续古摘奇算经》中就给出了幻方的构造方法[2]，通过几千年人们的研究幻方早已有了很多构造的方法，有连续摆数法、阶梯法、奇偶分开的菱形法、对称法、对角线法、比例法、斯特雷奇法、比例放大法、LUX法、拉伊尔法、镶边法、相乘法、幻方模式[3].它们各有特长，我们首先给出一些简单幻方的构造方法.
2.简单幻方(3~5阶)的构造（杨辉的方法）
2.1三阶幻方
在《续古摘奇算经》中，杨辉对洛书上的3阶幻方的生成法和最后布局归纳为以下8句话：
九子斜排，上下对易，左右相更，四文挺进
戴九履一，左三右七，二四为肩，优尔八为足[10]
这8句话的意思就是先把从1到9的9个数斜排（图1-1），然后上下交换（图1-2），接着左右交换（图1-3）最后把向外挺出的数插入到两数中间（图1-4）这就是3阶最简单幻方的构成方法.
2.2四阶幻方
杨辉将四阶幻方[14]称为“四四图”，给出了阴图（图2-1）和阳图（图2-2），阴图的构造方法是外四角对换：一换十优尔，四换十三（图2-3），然后内四角对换：优尔换十一，七换十（图2-4）
图2-1 图2-2
2 16 13 3
11 5 8 10
7 9 12 6
14 4 1 15
4 9 5 16
14 7 11 2
15 6 10 3
1 12 8 13
13 9 5 1
14 10 6 2
15 11 7 3
16 12 8 4
图2-3
2.3五阶幻方
杨辉老前辈的五阶幻方也是给出了阴图（图3-1）和阳图（图3-2），而且通过后代数学家的研究发现，阳图其实就是最早的“镶边法”得到的，由此可见杨辉虽然没有提出镶边法，但是他比法国数学家弗雷尼克尔17世纪时提出的早上400年，可见古代我国数学家已经对幻方有了很深的理解和研究[5]，仔细观察阳图我们不难发现，这个五阶幻方中心的三阶方阵是7、8、9、12、13、14、17、18、19是一个具有幻方性质每行每列和对角线的数相加都是39，而组成五阶幻方的其他16个数则两两结合形成了和为16的8对数（1，25；2，24；3，23；4，22；5，21；6，20；10，16；11，15）分别分布在中央的三阶方阵的周围最终得出了这个五阶幻方.
通过观察杨辉五阶幻方的阴图我们发现，杨辉给出的阴图并不是我们通常从1开始的25个数，而是9到33的25个数组成的，每个数减8我们不难得到一个标准的五阶幻方（图3-3），有我们新得到的阴图可以看出，这个阴图也是和有规律很精妙的，首先是中间数13居中，前两个偶数2和4分别在右上角和左上角，两个奇数1和3分别在末行的中间和首列的中间，最后四个数分别与前四个数对称的位置，这个框架就算是构架好了，然后把剩下的16个数分别组成和为26的4对数，然后每对数分列在中心属13对称的位置，这就保证了每行每列每个对角线的和相加都是65.上面这些只是我们通过阴图发现的一些规律和我们对阴图形成的猜测，我们不知道在800多年前的古人是怎么得到的五阶幻方阴图[7]，也许杨辉给出的阴图是通过一个特殊的方法形成，才最终导致给出的阴图不是从1开始的，当然这只是猜测历史的真相还有待考证，等待我们去发现，去挖掘.
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