常微分方程在数学建模中的应用(2)
自变量只有一个的微分方程称为常微分方程，自变量有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。
方程
就是常微分方程的例子，式中 是自变量， 是未知函数。
方程
就是偏微分方程的例子，式中 是未知函数， ， ， ， 都是自变量。方程（1-3）中含有三个自变量，方程（1-4）中含有两个自变量。
微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶数。例如，方程（1-1）是二阶常微分方程，而方程（1-3）与（1-4）都是二阶偏微分方程。一般的 阶常微分方程具有如下形式：
（1-5）
这里 是 ， ， ， ， 的已知函数，而且一定含有 ； 是未知函数， 是自变量。
1.2线性和非线性[1]
如果方程（1-5）的左端为 及 ， ， 的一次有理整式，则称（1-5）为 阶线性微分方程。例如，方程（1-1）是二阶线性微分方程。通常情况下， 阶线性微分方程有如下形式：
（1-6）
这里 是 的已知函数。
不是线性方程的方程称为非线性微分方程。例如，方程 是二阶非线性微分方程，而方程（1-2）是一阶非线性微分方程。
1.3解和隐式解[1]
如果函数 代入方程（1-5）后，使它变为恒等式，则称函数 为方程（1-5）的解。如果关系式 决定的函数 是方程（1-5）的解，则称 为方程（1-5）的隐式解，也称“积分”。例如，一阶微分方程
（1-7）
有解 和 ；而关系式
（1-8）
就是方程（1-7）的隐式解。为了简单起见，把解和隐式解统称为方程的解。
2数学建模的简要介绍
2.1数学建模的重要意义
自步入20世纪，随着数学以前所未有的深度和广度扩展到一切领域，及电子计算机的快速发展，数学建模已经越来越多的受到人们的关注，本文从以下几点来说明数学建模在实际中的意义[2]。
（1）一般的工程技术方面，数学建模仍发挥着举足轻重的作用
不论是航天、微电子、自动化等高新技术的发展，亦或是把高新技术应用到传统工业中开发新产品和创造新工艺，在计算机技术的支持下作模拟和建模都是非常有效并经常使用的手段。数值计算、数学建模及计算机图形学等结合而产生的计算机软件，在很多高新技术领域中都发挥着重要作用。在此基础上，数学不仅仅只是一门科学，是多种技术的根基，而是踏入了技术的前沿。
（2）数学迅速渗入新的领域，为数学建模开辟了更广阔的天地
随着数学向人口、经济、生态等非物理领域的渗入，诸如人口控制论、计量经济学、数学生态学等交叉性学科应运而生。在这些领域中有很大的余地可以建立不同方法、不同类型的数学模型，为数学建模开辟了更广阔的新天地。马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完美的地步[2]。”
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