借助Mathematica研究Boussinesq方程
毕业论文关键词 双线性导数法；微分算子；孤立子；Boussinesq方程；非线性 40892
引言
孤子首先是由英国著名的科学家J.S.Russel于1834年在一条小河边观察水波运动的时候发现的，由于当时科学水平的限制，英国皇家科学院意见未能达成一致，并且引发了激烈的争论.在1877年，Boussinesq提出了浅水长波近似，建立了非常著名的Boussinesq方程，Boussinesq方程它是用来描述非线性色散波在浅水中传播的方程,它的运用非常的广泛，以它为基础的数学模型能够模拟各种复杂地形上波浪传播的情况以及波浪和结构物两者之间的相互作用；另外Boussinesq方程式里描述的是非线性项和色散作用两项，色散效应它的作用影响能够使得波形展开,这两种效应的竞争最终能够达到一个平衡，形成一个固定的波形，这个波形就是孤立波.在1965年，美国的两位数学家Kruskal和Zabuskay通过计算机对孤立波进行研究，结果表明，两个孤立波在相互碰撞后，仍然能够保持原来的形状不变，并且与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒，所以，我们完全可以把孤立波当做原子或分子那样的粒子来看待，从而美国的两位数学家Kruskal和Zabuskay就将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子[1].随着各国学者不断地深入研究，在很多领域上都发现有孤立子的身影，在发现孤立子的同时人们逐步发展出了许多有效的研究方法，于是在1971年，Hirota创造性的提出了一种能够获得孤子解的直接方法---Hirota双线性方法[2]，通过这种方法我们可以看到，Hirota借鉴反散色方法的结果对位势 做适当变换，把所研究的方程化为双线性导数方程，而这双线性导数方程仍然是非线性的，因为它具有优越的双线性性质，所以能够将扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下这个展开式可以截断至有限项，可以得到指数函数形式的单孤子解，双孤子解和三孤子解，直到 孤子解，人们使用Hirota方法已经成功求解出很多的非线性发展方程多孤子解[3]，而且它的使用范围几乎涵盖了所有反散射变换可解的方程[5].在本文中，我们研究的是使用简化的Boussinesq方程论文网
（1.0）
并解出它的单双孤立子解，并通过Mathematica演示它具有的物理性质.
一、双线性导数的性质[4]
设 与 是变量 与 的可微函数，引进微分算子 与 ，使得对任意的非负整数 和 有
（1.1）
当 时有
（1.2）
当 时有
（1.3）
而当 时有
（1.4）
式（1.1）称为函数 与 施行 次 ，对 施行 次 的双线性导数.
这种导数具有以下性质：
函数 与自身的奇数次双线性导数为零，就是 为奇数时，
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