傅里叶变换在数学物理及工程中的应用(3)
早期的傅里叶变换是源于数学研究的，它是数学分析的一个极为重要的分支。
18世纪中叶，伯努利（Bernoulli）在解决弦振动问题时就提出了这样一个事实：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和 [1] 。用数学语言来描述,这个事实即为：一定条件下，任何周期为 的函数 ，都可以用一系列以T为周期的正弦函数所组成的级数来表示[2]，也即：
(1)其中， 都是常数。
19世纪初，法国数学家傅里叶（Jean-Baptiste Fourier，1768-1830）大胆断言：任何函数都可以展成三角级数。由此开启了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓宽了传统的函数概念。
1822年，傅里叶发表了题为《热的解析理论》的论文。文中，傅里叶提出，以 为周期的周期函数 可以展开成无限多个正弦函数和余弦函数的和，即
式子(2)就是著名的傅里叶级数。在以后的工作中，傅里叶将傅里叶级数从以 为周期推广到任意周期的周期函数，又从周期函数推广到非周期函数，并提出了傅里叶积分。傅里叶级数和傅里叶积分的提出，奠定了傅里叶变换（FT）的基础。
利用欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联系起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数函数的形式。
随着电磁理论和技术的产生和发展，尤其是电子通信和电信号理论和技术的产生和发展，傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换在电磁理论和技术、电信号理论和技术等领域得到了广泛的应用。
对于周期信号f(t)，周期为T，基波角频率为 ，在满足Dirichlet条件时，可展成：
f(t)= (5)
成为三角形式的傅里叶级数。其中n=1,2,3,…， 分别称作直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度 [2] 。
傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换属于调和分析的内容。“分析”二字，就是“条分缕析”。通过对函数的“条分缕析”来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，“分析主义”和“还原主义”，就是通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇：
1、傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；
2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；
3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；
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