傅里叶变换在数学物理及工程中的应用(5)
那么式子(17)就可以化成
(k为整数) (18)
至此，就讨论出了连续时间信号的傅里叶级数变换。即：
设 是周期为T的连续时间信号，称积分
(19)
为 的连续傅里叶级数变换(CFST)，同时也称和式子(18)为 的连续傅里叶级数逆变换(ICFST)。
式子(18)定义的连续傅里叶级数变换是以积分的形式给出的，所以，只要连续时间周期信号 在一个周期区间上平方可积，则其连续傅里叶级数变换 存在。
3.2 连续傅里叶变换
同样假设单位复指数信号 ，类似傅里叶级数变换的推导，可得(20)
式中， 是单位冲激信号。由上式可以得到 (21)
式子(21)表明，单位冲激信号 可以由 时的单位复指数信号通过加权 后积分得到。
对一般的连续时间的信号 ，由线性卷积的冲激不变性，得(22)
将式子(21)代入上式，可得 (23)
则式子(23)可以化成 (24)
至此，我们可以定义连续傅里叶变换。即：
设一般的连续时间信号 ，称积分
(25)
为 的连续傅里叶变换(CFT)，同时也称积分式(24)为 的连续傅里叶逆变换(ICFT)。
3.3 离散傅里叶级数变换和序列傅里叶变换
在离散时间信号的研究中，周期序列占有举足轻重的作用。其相应的傅里叶变换有离散傅里叶级数变换、序列傅里叶变换、Z变换和离散傅里叶变换等四种。本文主要简要介绍前两种。
3.3.1 离散傅里叶级数变换
设周期为N的周期序列 ，称和式 (26)
为 的离散傅里叶级数变换(DFST)。称和式(27)
为 的离散傅里叶级数逆变换(IDFST)。通常也将式子(26)称为 的离散傅里叶级数，称 为离散傅里叶级数系数。
的DSFT也是具有周期性的，并且 的周期和 的周期相同。一般表示为：
3.3.2序列傅里叶变换
对更一般的序列，相应的傅里叶变换就是序列傅里叶变换。其定义为：对一般的离散时间信号 ，称和式(28)
为 的序列傅里叶变换(SFT)，称积分式 (29)
为 的序列傅里叶逆变换(ISFT)。
由式子(28)看出，SFT是由无穷级数给出的，因此级数收敛与否产生了SFT是否存在的问题。由无穷级数的理论可知，当x(n)绝对可求和，也即
时，该序列为稳定序列，稳定序列的SFT存在。
傅里叶级数理论就是研究在有限区间上的一个函数与一正交函数系之间的关系，傅里叶变化理论（包括傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换）则是研究在无限区间上的情况。
傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，并且极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形的唯一性定理，并揭示了三角级数的特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
我们知道，一个周期函数，必须满足收敛定理条件，才能展开成傅里叶级数。然而，对于非周期函数，我们将它延拓为周期是无穷的周期函数而得到傅里叶积分。显然，非周期函数能进行傅里叶变换必须满足：在整个XY平面内函数只有有限个极值点和间断点，对整个平面绝对可积。但是，不小有用的函数是不满足以上条件的。为此必须把以上傅里叶变换定义推广。推广以后，不少不满足上述条件的函数可以求出其变换式-----广义傅里叶变换。对广义傅里叶变换的定义本文就不再赘述。
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