摘要本文采用了重积分换序法和构造函数法这两种方法证明积分型余项的泰勒公式。除此之外，本文还研究了可导函数的不定积分公式，指出了其相关的定理证明中存在的错误，并对其定理加以推广。41822

该论文有参考文献6篇。

毕业论文关键词：泰勒公式  积分型余项  重积分  不定积分  

 Taylor's Formula Proved Integral Remainder Term

Abstract

In this paper, we proved the Taylor formula with multiple integral remainder term by using two methods, for example, multiple integral's changing order and constructing function. Furthermore, we also studied the indefinite integral formula of differentiable functions, then we pointed out an error in the proof of its corresponding theorem and generalized the theorem.

Key Words: Taylor formula  Integral remainder term  Multiple integral  indefinite integral

目  录

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

1 绪论1

1.1泰勒公式的内容—1

1.2泰勒公式余项的类型—1

2 积分型余项的泰勒公式-2

2.1利用重积分型余项证明积分型余项的泰勒公式2

2.2利用引理1和重积分换序证明积分型余项的泰勒公式—2

2.3利用函数构造法证明积分型余项的泰勒公式—3

3 关于《可导函数积分公式的探究》的纠正及推广5

3.1可导函数的不定积分公式的定理及其证明5

3.2对可导函数的不定积分公式的定理证明的纠正6

3.3可导函数的不定积分公式的定理推广及其证明和应用7

3.4对可导函数的不定积分公式的定理的改进8

4 总结-9

参考文献10

致谢11 

1绪论

在数学的领域中，泰勒公式就是一个用函数在某点处的具体情形刻画其附近取值的公式，泰勒公式还给出了此多项式和实际的函数值之间存在的误差.无论是在学习还是生活中，泰勒公式的应用都非常广泛，其中最典型的应用就是求任意函数的近似值.许多文献中已经讨论了带有佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式的推导及证明，那么对于带有积分型余项的泰勒公式的证明，我们会产生哪些新的想法？除此之外，本文还研究了关于可导函数的不定积分公式，并在引用的文章中发现其定理给出的证明存在错误，本文将对其定理的证明加以纠正，给出自己的证明，并进一步对定理进行推广和改进，得出新的结论.

1.1泰勒公式的内容

泰勒公式是由哪几部分构成的？它又是怎样建立的？泰勒公式可以将深奥晦涩的函数转化成方便理解和计算的多项式,这样就能实现从复杂到简单的转换.用多项式去逼近函数是近似计算和理论分析的一个十分重要的内容.泰勒公式是在微积分的基础上进行了更深层次地拓展，它在数学的领域中具有极其重要的意义.但在什么样的情形下，我们才能用多项式代替函数，并且在此过程中，是否会产生一定程度的误差？接下来我们就来仔细地探究关于泰勒公式的问题.

1.2泰勒公式余项的类型

泰勒公式的余项有些相对比较简单，有些相对比较复杂.首先，我们先来探讨一下它的分类.泰勒公式的余项大体上可以分成两种：一种是定性的余项，比如佩亚诺型余项 就属于定性的余项.它只要求函数 在点 处存在直到n阶导数的情况下就能成立且佩亚诺型余项不能进行定量的计算.另一种是定量的余项，比如拉格朗日型余项 ，它所需要的条件比佩亚诺型余项多，所以也就比佩亚诺型余项更加复杂.同样的，柯西型余项和积分型余项也属于定量类余项.