常微分方程在数学建模中的应用+文献综述(3)
3.1人口预测模型
人类生存的环境资源是有限的,正因资源的有限性，世界各地区都在有计划的控制人口的增长.决定人口增长的原因有很多，比如：国家对人口控制政策、人口的转移、天然灾害、战争等诸等多原因,得到预测模型弄清楚这些原因是必须考虑在内的，当然我们要先把这些实际问题简化，建立起比较粗糙的模型，尽一切可能与事实相符合，然后在逐渐完善模型，最终得到比较贴近事实的完善模型.
1（马尔萨斯（Malthus）模型）马尔萨斯出生在英国，在他任职牧师期间，曾经查阅所在地前后100年的人口统计材料，在查阅的时候细心的他发现人口出生率接近常数.后来在《人口原理》一本书中写出此模型，他假设出生率与死亡率之差（即净相对增长）是一个常数，也就是单位时间内人口的增长数目比人口数量的关系式一个常数，然后将比例系数设置为r，在这样的假设下，推理且求出了人口预测的数学模型.
解：因人口数量过于庞大，所以可设 时刻的人口为 ,然后把 作为连续、可微函数.所以在 到 内,人口的增长量是
,
并设 时刻的人口为 ,所以有
用分离变量法就可以很容易的解出答案为
这便是马尔萨斯的人口模型，当然我们可以很容易的看出上面的式子可以表明人口数量随着时间变化以指数的形式无限上涨.
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