1.反证法的基本概念  

    反证法是数学应用中比较常用的一种证明方法，而且有些题目也只能用反证法来证明.其实反证法就是假设要证明的结论不成立，然后反着向已知推导，结果得到与已知或公理相矛盾，从而假设不成立.    

反证法解题的过程可以简洁的概括为“否定——得出矛盾——再否定”.也就是说从否定结论开始，在达到新的否定之后结束，中间应用逆向思维得到关于否定结论的矛盾，它的基本思想就是辩证的“否定之否定”.应用反证法就是：想要证明“若...则...”为真命题，从相反的结论开始，找到矛盾所在，从而得到原命题为真命题.

2.中学数学中的反证法

2.1反证法在代数学中的应用

中学数学中关于反证法的知识模块可分为代数学、几何学、概率与数理统计三个方面.因此，反证法在中学数学中的应用可以从这三个方面分别进行阐述.

在代数学中的“整数问题”看似很简单，但是要得到所需求证的结论是比较难的.如果能用反证法的逆向思维来证明所需结论，就会简单一些.比如下面这个例题.

    例1  设 为奇数， 为 的任一排列，求证： 必为偶数.

证明  假设 是奇数，则 都是奇数

又因为 为奇数，

所以这 个奇数的和还是奇数.则 是偶数，不是奇数，发生矛盾.

因此命题得证.

从上面的这个例子，如果用正向思维证明“ 比为偶数”，就要从题目中给的条件入手，而此例题中所给的条件不足以证明出结论，这个时候就会想到“正难则反”，用反证法的基本思想就是“否定结论”，在否定结论之后，就会多出一个条件，以假设成立的结论推导命题的已知条件，若与命题的条件相符合，则假设成立；如若不符，则假设结论不成立，那么原命题成立.

在反证法在代数问题中还有一个“方程问题”.从下面这个例子，可以看出来此类问题运用反证法和上述例1中叙述的“整数问题”运用反证法的过程都是大致相同的.

    例2  设 为互不相等的非零实数，求证：三个方程 ， ， 不可能都有两个相等的实数根.

    证明  若题中方程都有两个相等的实数根，

则所以故 ,这与已知矛盾，原命题得证.

上述问题中是证明“三个方程中不可能都有两个相等的实数根”，而条件只给了一个，直接从这个条件出发就要把“ ”分别代入三个方程中算出结果，这样的过程过于复杂繁琐，如果用反证法的思路证明这个问题，就如上题所表述的过程一样，就会简化这个问题的证明过程，这个例题充分的体现出在“方程问题”中应用反证法证明的优势.

反证法在代数学中的另一个问题是“函数问题”.“函数问题”是代数中处理起来较为麻烦的一种，但是一旦运用逆向思维方式进行分析，很明显的就得出来，反证法于这类问题中的优势.

    例3  是否存在这样的实数k使得二次方程 有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定 的取值范围；如果没有，试说明理由.

    解  假设存在符合题意的 值，设函数 

则其图像为开口向上的抛物线，顶点应在 轴下方，且在 与               之间.

所以即这个不等式组无解.

所以不存在满足要求的 值.

上述这个例题中，如果用正向思维解题，就要分情况考虑问题:源^自'优尔;文,论|文{网[www.youerw.com，而求解过程就会极其繁琐，然而用反证法的思路就同例 一样简单，只需应用假设的结论进一步推理，就能得出一组不等式，最后由这一组不等式的解就能推断出题目所求.