1.1.1 国外古希腊的反证法   

   反证法，无论在逻辑上还是数学上的，它的概念都是一致的。西方数学在毕达哥拉斯学派影响下，认为万物皆为数。用整数及几何图形构建一个宇宙图式。但随着这个表征数学史

的第一次危机“ ”问题的出现，在当时的数学界掀起一场巨大风暴，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使希腊人重新审视自己的数学，导致最终希腊人放弃了以数为基础的几何。而提出这个问题的毕达哥拉斯学派成员希帕索斯成为有史以来第一个使用反证法的人。现在我们来看这个历史上的第一个反证法，设边长为1的正方形的对角线为a，那么根据毕达哥拉斯定理，有 =2，假如a是分数，设a= （p,q既约），就有（ ）²=2, 即 =2 ,从而可得p是一个偶数，那么q也是一个偶数，再令q=2m，代到=2里面，得到4 =2 ,这样得到p的平方是一个偶数，那么p也是一个偶数，这和p,q既约是相矛盾的，从而可以得到a不能表示成分数，也就是说边长为1的正方形对角线不能用整数之比表示[11]。

第一次危机使得人们不再依靠图形和直观了，要更多地依靠推理和逻辑，同时危机还使得几何学拒绝了无穷小。此时西方的数学成为了用证明为主的证明数学，他们推崇准确性的数学。表现形式为：逻辑、演绎的体系。由此可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。虽然希腊人同样讲究计算，但是他们却认为计算是低级的、初等的；是几何证明后的一个应用而已。他们十分重视的是演绎以及证明，并提出了：希腊人除了重视演绎逻辑证明以外也分析数值计算（尤其在希腊后期），但希腊人认为数值计算是理论证明后的应用。希腊人指出“不要近似”即“清晰的形式证明与公理的使用”归功于希腊人。

  “萨谢利读欧几里得的《原本》，简直被它得力的归谬法吸引了，在萨谢利的《逻辑证明》的内容中，有创建的是：把归谬法应用到欧几里得平行公设的研究，而且被允许印一本标题为《排除任何谬误的欧几里得》的书”，当然这里所说的归谬法即是反证法，因此这是非欧几何的肇始，并且也说明早在《几何原本》中就开始运用反证法了[2]。西方的逻辑学始于柏拉图在亚里士多德的时候极盛，欧几里得正处于形式逻辑的发展时期，此时大兴把形式逻辑的思想方法运用到数学研究和排斥数学应用之风。柏拉图反对数学应用于实践，他认为：“不知几何之目的，乃最高深之知识也。”

形式逻辑发展与反对数学应用在实践的思潮对数学的影响深刻，柏拉图提出数学应从自明的绝对假设开始，通过系列的逻辑推论，而在最后达到所要求的结论。亚里士多德更是努力把形式逻辑应用于数学。第一，他研究数学概念且不同意毕达哥拉斯学派“万物皆数”的观点；第二，他先承认通则，提出数学的证明只是把原有道理画出来，问题就可以解决了。《几何原本》就是在这样的一种情况下的产物。西方欧科托斯的反证法在处理圆面积时候运用了和东方截然不同的演绎证明的方法，同时体现了他们所要的“不要近似”思想[2]。

    1.2.1中国古代数学的反证法

    在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学不完备，尽管我们中国先辈们认识到一些逻辑规律，且在魏晋就大兴雄辩，不过大多数都是用于类似于反驳，当然这反驳之中常用的归谬法，刘徽受到它的影响，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法。墨子的“归谬法”。例如：“学之益也，说在诽者。”通过证明“学习无益”是假，但是得到“学习有益”的命题是真。这是个很有道的反证法特例。而将其归为归谬论证不妥，其为反驳的一种方法。即便是反证法有用到归谬法，但是两者间仍有质的不同，这种表达模式在我国古代数学逻辑上很少见，因此没有被重视，较为可惜。但是需要指出：明确的反证法的用法却十分罕见。这与西方有着很大的差别。而西方无论是逻辑中还是数学中都认为反证法是一种普通的证明方法。在我国数学，即便是刘徽这位古代擅长数学的专家，也只是用到了反驳，仍未摆脱中国古算讲求实际的传统影响。在他方法满足实际需求之后，再去探讨无限更深层次的问题动因就大大减弱了。加之比较成熟的归谬法也没有发展起来，对于由开放术过程来确定无理数是否存在这样的问题，没富有成效的归谬法。它不仅不是中国古代数学的传统，也正是中国古代哲学思维的薄弱环节。综上可知，当时的思想家们能使用归谬法，在西方则有含穷竭法的反证法，但是从它实质及其作用来看，并未解决无限问题。