摘要：本文建立了一个新的Liouville型恒等式，并由之导出包含因子和函数的两个递推公式。

毕业论文关键词：Liouville恒等式，偶函数，因子和，递推公式

Abstract: In this paper, we establish a new identity of Liouville type and then deduce two recurrence formulas involving the sum of pisors. .

Key words :  Liouville identity , even function , the sum of pisors , recurrence formula

目   录52188

1. 引言4

2. Liouville型恒等式5

3. Liouville型恒等式在因子和函数中的应用8

结 论11

参 考 文 献12

致 谢13

1  引言

十九世纪法国数学家Liouville在晚年建立了18个关于奇函数和偶函数的恒等式，并从中导出因子和函数的递推公式和自然数 表为平方数或三角形数和的方法数公式，参见[1-5]。如Liouville指出如下恒等式：

  = 

其中 为正整数集合， 为偶函数, 和 分别表示 的正因子和与正因子个数，即

  ，  .

本文从[2]中Huard-Ou-Spearman-Williams恒等式出发证明了如下Liouville型恒等式：

这里 为给定的偶函数， 

在（1.1）中取 ， 我们得到如下关于 和 的两个递推公式：

其中 ， ， 

本文中 表示整数集合， 表示复数集合， 表示不超过 的最大整数。

我们也使用如下的记号：

2  Liouville型恒等式

   引理2.1. （[1， Theorem 3.1]）设 为 到 上的函数，若对任意 ， ， ，   有：

定理2.1. 设 为 到 上的函数，则故由引理2.1知