引理1 （延拓定理）设 是指标为零的Fredholm映射, 在 上是 -紧的,假设

(a)对任意的  (0,1),方程 = 的解满足   ;                                      

(b)对任意的 而且 ,则方程 在 中至少存在一个解.                                                 

本文使用如下记号其中 是连续的正的 周期函数,下面叙述本文的主要结果.                                     

3系统（1.4）的正周期解的存在性                                                               

定理2   如果

                            (3.1)

则系统(1.4) 至少存在一个正的 周期解.

证明：考虑系统

         (3.2)

这里所有系统(3.2)的系数均与系统(1.4)的系数一样.容易看出,如果系统(3.2)有 周期解 则 是系统(1.4)的正的 周期解.因此为了完成定理2的证明,我们只需要证明系统(3.2)的 周期正解的存在性.取

则X与Z在范数 下是Banach空间.注意到由 的周期性可知

都是连续的 周期函数.令

则有 是 中的闭子集,且 故 是指标为零的Fredholm映射.容易证明 是连续投影且使得 因此 的逆映射  存在,且 .

于是其中 显然 和 连续,设 是 中的有界开集,显然 有界,利用Arzela-Ascoli定理容易证明                   

对应于算子方程 我们有

设 是系统(3.3)的对应于某个 的解,将(3.3)式两端同时从 到 积分得

由(3.4)—(3.6)式我们有因为  使得于是,由(3.3)式有由(3.11)和(3.12)式整理可得  

现在利用(3.14)式,从(3.13)式可得