傅里叶变换在微分方程中的应用
关键词：傅立叶变换；基本概念；基本性质；微分方程
Application of Fourier Transfom in differential equations
Abstract: Fourier Transfom is an important transform in mathematics. This paper initially introduce the Fourier Transform and its basic properties. The author describes the basic concepts and basic nature of the Fourier Transform and understands the demonstration of the basic properties of the Fourier transform. Fourier Transfom is applied extensively which can not only be applied in the field of mathematics, but also can be applied to other fields. This paper discuss the application of Fourier Transfom in solving differential equations through some examples.
Key words: Fourier Transfom; basic concepts; basic properties; differential equations
目 录
摘 要 1
引言 2
1.傅里叶变换概念 3
1.1傅里叶积分 3
1.2傅里叶积分定理 4
1.3傅里叶变换概念 5
2.傅里叶积分性质 6
3.傅里叶变换在微分方程中的应用 10
4. 结束语 13
参考文献 14
致 谢 15
傅里叶变换在微分方程中的应用
引言在数学计算中，我们最根本的方法是把较复杂的数学问题转化为简单的数学问题运算.例如我们可以通过对数变换将复杂的数量积转化为简单的加减法来运算.在积分变换中，傅里叶变换是最常见的积分变换，这种积分变换是通过一种积分变换形式将一个复杂的积分函数转化为简单的积分函数，并能利用逆变换将得到的函数变换为原函数.它在使计算简化的同时，又赋予了函数特殊的物理意义.它不但运用于数学及其分支学科中，而且还运用于自然科学和工程技术科学中，因此傅里叶变换是一种非常重要的运算工具.
下面文献对傅里叶变换进行了进一步探究.文献[1][2][3]就要简述傅里叶变换的基本概念.文献[4][5][6]主要帮助我们理解傅里叶变换的基本性质.文献[7][8][9][10]从不同领域、不同学科、不同角度分析了解傅里叶变换的应用.
本文在上述文献的基础上，先介绍傅里叶变换的基本概念，掌握傅里叶变换的基本原理.在掌握的基础上理解傅里叶变换的基本性质.在以基本性质为依据，讨论傅里叶变换在微分方程中的应用.从两个例题中了解并讨论傅里叶变换在微分方程中的应用.
1傅里叶变换的基本概念
1.1傅里叶积分
如果函数 在区间 上满足狄利克雷条件，那么在 上可以展开成以 为周期的傅里叶级数，而且 的连续点 处，成立
其中 将以上两式代入(1)得
现在假定 在 上绝对可积，即广义积分
收敛，那么
于是保持 不变，当 时，式 变为
记 ，则当 ， .所以 写成
上式为 的傅里叶积分公式.
1.2 傅里叶积分定理
如果函数 在 上的任一有限区间上满足狄利克雷条件，在 上绝对可积，那么对任意 ，成立
特别的，若 在 处连续，则 利用欧拉公式
代入 得把上述右边第二项的积分变量由 变为 ，得
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