摘  要：数学、物理等学科中的许多量都可用向量来表示．向量法是解决数学、物理问题的一种重要手段．本文主要讨论向量在解决三角函数问题、方程问题、最值问题、不等式问题、复数问题、直线位置关系问题、面积与体积问题、夹角问题等方面的应用．54118

毕业论文关键词：向量，三角函数，方程，复数，夹角

Abstract: Many quantities of mathematics, physics and other subjects are available vector to represent. Vector method is an important means to solve the problem of mathematics and physics. In this paper, we mainly discuss the application of vector in solving the problem of trigonometric function, equation, the most value, inequality, complex, linear position, area, volume and the included angle, etc.

Keywords: vector, trigonometric function, equation, complex number, included angle

目   录

0  引言4

1  向量在解决三角函数问题中的应用4

2  向量在解方程问题中的应用5

3  向量在求解最值问题中的应用5

4  向量在证明不等式问题中的应用6

5  向量在复数问题中的应用7

6  向量在讨论直线位置关系问题中的应用8

7  向量在求面积与体积问题中的应用9 

8  向量在求夹角问题中的应用10

8.1向量在求直线与直线夹角问题中的应用11

8.2 向量在求直线与平面夹角问题中的应用11

8.3 向量在求平面与平面夹角问题中的应用13

结论15

参考文献 16

致谢17

0  引言

向量是一种既有方向又有大小的量．因此，许多实际问题和数学问题都能够使用向量来解决．在物理中，力、位移、速度、加速度、电场强度等等都可引入向量表示．而在数学中三角函数问题、平面夹角问题、不等式问题等也都可以应用向量来方便地解决．目前，关于向量方面的文献不少[1-6]，本文将系统地探讨向量在数学解题中的应用．

1　向量在解决三角函数问题中的应用

在一些三角函数问题中，三角函数表达式的结构和形式与向量的一些概念与公式，例如向量的模、向量的内积等密切相关，这时就可通过巧妙地构造向量来解决这些三角函数的问题．

例1　已知 ，求锐角 与 的值．

解　由已知得观察其结构，联想到向量的数量积．令

上式得源'自:优尔`!论~文'网www.youerw.com

将 代入原式得 ．

2  向量在解方程问题中的应用

有些方程(方程组)，比如多元高次方程组，如果用常规方法求解，过程繁琐且容易算错．但如果将方程化简，观察其形式，有些很容易联想到向量的一些概念，譬如向量的模．这时我们通过构造向量和运用向量模就能简便的解决问题．

例2　求实数 ，使得它们同时满足方程：

分析　将两方程相加并配方得

由此联想到向量模，令则又因为

其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当

时等式成立．结合 可得

 ．3　向量在求解最值问题中的应用

利用向量的模的不等式

可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．

例3　求函数 的最大值．

分析　观察其结构特征，由 联想到向量的数量积的坐标表示．令

当且仅当 与 同向，即 

时取等号，从而问题得到解决．

4  向量在证明不等式问题中的应用

在证明一些复杂的不等式时，用常规的方法会比较繁琐，难运算．但通过巧妙的构造向量，运用向量的一些的性质，则可以简单、快速地证明不等式．