基于EMD和分形理论的美元与国际油价的相关分析研究(4)
2.1.1本征模函数(IMF)
N. E. Huang等人提出了本征模函数IMF的概念，定义其是用来表示信号的一个内在特征震动形式，并且指出本征模函数上任意一点的瞬时频率都是有意义的。满足单分量信号物理解释的信号，在每一时刻只有单一频率成分，这样便使得瞬时频率具有意义。
一个IMF必须满足2个条件：
A．在整个数据段内，其极值点的个数与过零点的个数必须相等或最多相差一个；
B．在任意时刻，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的下包络线的平均值为零，即上、下包络线相对于时间轴局部对称。
对于IMF，可以用Hilbert变换构造解析信号，然后求出瞬时频率，进而对信号作进一步的分析。
2.1.2经验模态分解方法(EMD)
EMD方法假设任何信号都是由一些不同的基本信号IMF组成的，即若干个IMF相互叠加形成复杂的复合信号。EMD方法的目的就是为了分解信号获取本征模函数IMF。每个IMF无论是线性还是非线性、非平稳的，都具有相同数量的极值点和过零点，在相邻的两个过零点之间只有一个极值点，而且上、下包络线关于时间轴是局部对称的，任何两个模态之间的关系都是相互独立的。
EMD方法对信号分解步骤具体如下：
A．确定出原始信号x(t)的所有局部极大值点和局部极小值点，用三次样条曲线将所有局部极大值点连接起来构成原始波形的上包络线，同样再次使用三次样条曲线将所有局部极小值点连接起来构成原始波形的下包络线；
B．求出上、下包络线的平均值m1，并求取原始信号与上、下包络线的平均值之差，则有 ；
C．若该差值C1是一个IMF，即为原始信号的第一个IMF分量；若不满足IMF条件，则从原始信号中减去C1，即可获得信号的残余分量R1，可以表示为 。对R1重复以上步骤，直到满足终止条件：①ci或rn小于预定的误差；②残余信号分量rn成为一个单调函数；
D．原始信号最终分解成为n阶IMF和一个残余信号，残余信号一般为信号的平均趋势或时间的单调函数[13、14、15]。
这样，原始信号可以表示为 ，其中，ci为第i个IMF分量；rn为分解完成后的残余信号分量。该方程可以解释为尺度滤波过程，每个IMF分量都反应了信号的特征尺度，代表着信号非线性非平稳信号的内在模态特征。
对于IMF，可以用Hilbert变换构造解析信号，然后求出瞬时频率，进而对信号作进一步的分析。
2.2 分形插值函数的简介
2.2.1分形理论
分形理论(Fractal Theory)是现代非线性科学理论的重要组成部分，该理论定义了分形的含义，提出了分形的基本理论及一系列与该领域相关的性质等，是理解分形的必备基础知识。分型理论以非规则和非线性物体为研究对象，主要研究和揭示复杂的社会与自然现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，是一门横跨社会科学、自然科学和思文科学的新学科，是针对探索复杂对象的一种新方法、新理论[2]。
分形的重要性质在于自相似性，而且该相似性意着部分和整体相似，部分是整体的浓缩和缩影，尽管它们并不完全相同。信息分形说明局部包含着整体的主要信息特征，功能分形则指独立部分和整体的功能相似，或者相对独立的部分在适宜的条件下能够发育成为整体。
2.2.2 分形插值函数
分形插值是一种构造分形曲线的方法。也可以说它是样条函数的一种推广，并且分形插值函数为函数逼近论开辟了崭新的研究领域。分形插值函数与初等函数一样具有其本身的几何特征，它们之间的主要差别是分形插值函数的分形特征，如存在非整的文数，并且是针对集合而并非针对独立点进行讨论研究的。利用分形插值函数的性质可以很好的拟合光滑或者不光滑的曲线，并且在不光滑曲线的拟合中具有其独特的优越性。
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