基于EMD和分形理论的美元与国际油价的相关分析研究(5)
给定闭区间 ，令 是I的一个分划，其中 ，令 是任意一组实数，记 。
记 ， 。令 是 的一个压缩同胚，满足条件
， (2.1)
并且对某个 ，有
. (2.2)
令 是 的连续函数，满足条件
， (2.3)
并且对某个 ，有
. (2.4)
定义映射 ：
， (2.5)
则 构成一个迭代函数系。
存在I上的连续函数f，使得f的图像 是迭代函数系 的不变集，即 ，并且 。我们称这样的f是对应于 的分形插值函数。
特别当 和 都取为线性函数时，(2.5)可以写成如下的形式
. (2.6)
这时有 ， 。由条件(2.2)和(2.4)可知
又由
，
可得方程组
(2.7)
解此方程组，得到
(2.8)
由此可得 都是压缩仿射变换，于是 构成一个双曲迭代函数系。由该迭代函数系所确定的分形插值函数，我们将称它为自仿射分形插值函数。
2.3蒙特卡罗法的简介
蒙特卡罗方法也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代提出的一种以概率统计理论为指导的一类数值计算方法，属于试验数学的一个分支。蒙特卡罗法的核心是使用随机数来解决计算问题，它既能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题，也能求解确定性问题。蒙特卡罗方法的基本思想是建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型中的参数或其他有关的特征量，通过多次随机抽样实验，统计出某时间发生的百分比，接着利用建立的概率模型，求出要估计的参数，从而得到数值解。蒙特卡罗法主要应用在金融工程学、宏观经济学、计算物理学、生物医学等领域。
假设在风险世界中标的变量 服从标准差为s，预期收益率为 的几何布朗运动，
， (2.10)
式中 是从正态分布中抽取的一个随机样本。
为了模拟变量 的路径，考虑式(2.10)的离散形式，将价格的有限期限分为N个长度为 的时间段，并用下式(2.11)对式(2.10)进行近似：
. (2.11)
由此，从 的初值可以计算出 在时间 后的值，由 后的值计算出 在2 后的值。这样便可得到变量 的一条路径，其终值对应价格的一个样本终值。它可以看成是终值集合中的一个随机样本，使用同样的方法，我们可以得到大量样本终值。求所有这些终值的算术平均值，可以得到价格的近似值，再以无风险利率对这个终值贴现，既可以得到价格的预测值。
当存在多个标的变量时，处理方法类似。定义标的变量为 ， 为标准差， 是在风险世界中的预期收益率， 是 和 之间的瞬间相关系数，将价格的有效期分成N个长度为 的时间段，则 的离散过程形式为
, (2.12)
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