摘  要：本文通过对平面上一些特殊的几何变换的研究，旨在让我们能够全面系统地掌握线性代数与几何的基本知识；深刻领会处理几何变换的思想方法；培养和提高抽象思维能力、逻辑推理能力、计算能力.突出矩阵在高等代数中的特殊地位，一方面矩阵本身有许多理论问题可以研究；另一方面它又是研究平面几何中几何变换的重要工具. 55399

毕业论文关键词：矩阵，几何平面，几何变换，应用

Abstract： Based on the study of some special geometric transform plane, in order to allow us to systematically master the basic knowledge of linear algebra and geometry; Deeply understand the ideological approach to geometry transform; cultivate and improve abstract thinking , logical reasoning , computation ability. Special prominence of matrix in Higher Algebra .A matrix itself has many theoretical problems can be studied; on the other hand, it is also an important tool in the study of geometry in plane geometry transformation.

Keywords：plane geometry, geometric transformation, linear algebra, matrix

目    录

1  引言4

2  欧氏平面的初等变换4

2.1  平移变换4

2.2  旋转变换5

2.3  反射变换7

2.4  正交变换8

3  仿射平面的几何变换8

3.1  仿射变换的定义8

3.2  仿射变换的性质9

2.3  仿射坐标系与仿射变换坐标9

4  射影平面的几何变换··10

4.1  射影变换的定义·10

4.2  射影变换的性质11

4.3  射影坐标系与射影变换坐标·11

5  几何变换的若干应用··13

结论15

参考文献16

致谢17

1  引言

在大学高等代数课程的矩阵相关知识学习中，大多数老师把矩阵的基本定义、定理及其证明作为重点，往往忽视了它在其他方面的应用，这很容易造成理论与实际相脱节的情况发生．这种做法导致的直接问题就是，学生认为高等代数课程枯燥乏，很难对其产生学习的乐趣，从而导致对高等代数这门课程的学习停留在问题的表面，而其本质性的内涵却很少有人能感悟．针对这一问题，本文尝试将矩阵应用到几何变换之中，让我们对矩阵有更深入的理解，达到提高学习兴趣的目的．

2  欧氏平面的初等变换

2.1  平移变换

定义1  将平面 上的每个点都沿着同一个方向平行移动相同的距离的点变换称为 上的一个平移变换，简称平移．

取定平行于平面 的一个向量 ，定义 的变换

其中 是由 定义的点，称 为平面 上的平移， 为 的平移向量．设在直角坐标系 中， 的坐标为 ，点 和 的坐标是 ．

因为 ，由图1可得，平移变换在直角坐标系下的坐标变换公式：

 而换成矩阵的形式可表示为 

通过观察矩阵可知，行列式 ，显然平移变换 是可逆变换．

2.2  旋转变换

定义2  在平面 上取定一点 ，将 上每一点都绕 向同一个方向旋转相同角度 的点的变换，称为 上以 为中心旋转 角的一个旋转变换，记为 ．

设 为 上任一点，定义在 上的变换  ，使得 ．

建立以中心 为坐标原点的直角坐标系 （见图2），点 在此坐标系下的坐标为 ，点 在此坐标系下的坐标为 ．

    在以 为极轴的极坐标下， 的极坐标为 ， 的极坐标为 ，

化成直角系坐标