证明:观察不等式特征，可将原不等式变形为   ,记 ，由于 ，故 ，所以只要证明当 时， 即 成立即可.

 令 ，则 

 由 ， ， 知

 在 单调增加

当 时， ，于是 在 单调增加，故 ，

即当 时， 

当 时， ，要使不等式成立，则要使 在 恒成立，然而此时 在 单调增加， ，因此得出矛盾，此时不等式不成立

综上所述:当 时， 成立；当当 时， 不成立.

2.2  函数的极值与最值证明不等式

函数的极值 :在数学中，极大值与极小值(又被称为极值)是指在一个域上函数取得最大值(或最小值)的点的函数值。而使函数取得极值的点(的横坐标)被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域(这时极值称为最值).

极值的第一充分条件 ：设 在点 连续，在 内可导，(i) 若当 时， ,当 时， ,则 在 取得极小值.（ii）若当 时， ,当 时， ,则 在 取得极大值.

极值的第二充分条件 ：设 在的某领域 内一阶可导，在 处二阶可导，且 ， .(i)若 ，则 在 取得极大值；(ii)若 ，则 在 取得极小值.

极值的第三充分条件 ：设 在的某领域内存在直到 阶导函数，在 处 阶可导，且 （ ）, ,则(i)当 为偶数时， 在 取得极值，且当 时取极大值， 时取极小值.(ii)当 为奇数时， 在 不取极值.