摘  要： 本文主要对矩阵迹的性质进行归纳并举例说明矩阵迹在特殊矩阵、不等式证明等的应用．

毕业论文关键词：矩阵的迹,幂等矩阵,幂零矩阵,反对称矩阵,正交矩阵 59249

Abstract：In this paper, we induce the properties of matrix trace and give examples to illustrate their applications in terms of some special matrices, inequality proving and so on.

Key words: matrix trace, idempotent matrix, nilpotent matrix, anti-symmetric matrix , orthogonal matrix 

1引言 4

2 预备知识 4

2.1 几个基本定义 4

2.2 矩阵迹的简单性质 4

2.3 矩阵迹的主要结论 5

3 矩阵迹的一些应用 7

3.1矩阵迹的简单性质的应用 7

3.2矩阵迹在特殊矩阵中的应用 7

3.2.1 矩阵迹在幂等矩阵、幂零矩阵中的应用 8

3.2.2矩阵迹在反对称矩阵中的应用 10

3.2.3利用矩阵的迹求正交矩阵所在的行列式 10

3.3矩阵的迹在反证法中的应用 11

结  论 12

参考文献 13

致  谢 14

1  引言

   矩阵的迹是矩阵中一个重要数字特征，其在估计、计算数学、随机控制及其他方面有着重要应用，但是在通常的高等代数或线性代数教科书中没有对矩阵迹的性质及应用做出的系统地论述.本文在已有文献的基础上，给出了几个与矩阵迹相关的等式和不等式性质，并给出了简洁证明，最后就其性质给出了几个相关应用的实例.

2  预备知识

2.1  基本定义

定义  方阵 的所有主对角线元素之和称为 的迹，记为 ,即 .

 定义  设 、 是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得

则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，记作 ~ .

 定义  实对称矩阵 称为正定的，如果二次型

正定.

定义   ，如矩阵 满足

则叫埃尔米特（Hermite)矩阵.

定义  若方阵 满足 ，则称方阵 为幂等阵.

定义  若方阵 满足 ，则称方阵 为幂零.

定义   ，若 满足条件

 ，

则 称为反对称矩阵.

定义  n级实数矩阵 称为正交矩阵，如果 .

2.2  矩阵迹的简单性质 

性质   .

性质   ，（ 是 的特征值）.

性质   .

性质   ( 为任意常数).

性质   .

性质   .

性质   .

性质  若矩阵 是正定矩阵，则 .

因为相似矩阵具有相同的特征多项式,从而它们具有相同的特征根,于是有

性质  若  ，则 .

2.3  矩阵迹的主要结论

定理1 设 , , .

证明  我们分成两种情况：  ；  .首先证明当 时矩阵 的特征多项式和矩阵 的特征多项式有如下关系：

  .1) 当 时，两边取行列式，得2) 当 时，令

因为

 , ，所以

又由1）知 ，所以矩阵 ， 的非零特征值相同.

其次，设 为矩阵 的所有特征值， 为矩阵 的所有特征值，则有