张量理论及应用(2)
自从爱因斯坦 （ Einstein ） 在 1915 年发表了关于广义相对论的著名论文后 ， 张量分析引起了物理学家的关注。近年来，源]自{优尔·~论\文}网·www.youerw.com/ 许多力学问题的研究工作中，张量分析也起着重要的作用。现在，如果物理学工作者或力学工作者对张量分析没有一定程度的通晓，将会严重影响研究工作。2 2 2 2 张量概念 张量概念 张量概念 张量概念2.1 2.1 2.1 2.1 N 维空间与坐标转换 维空间与坐标转换 维空间与坐标转换 维空间与坐标转换2.1.1 N 维空间定义 N 维空间里的曲线为满足下列 N 个方程的点的轨迹：N i u x xi i, , 2 , 1 ), ( ⋯ = = （ 3.1 ）式中， u 是参数，而 ix 是 u 的 N 个满足一定连续条件的函数，通常只要存在所需的各阶导数就够了。定义 N 维空间的子空间 ) ( N M V M < 为满足下列 N 个方程的点集合：⋯ ⋯ （ 3.2 ）式中有 M 个参数 Mu u u , , ,2 1⋯ 。 ) , , , (2 1 M iu u u x ⋯ 是 Mu u u , , ,2 1⋯ 的 N 个满足一定连续条件的函数。2.1.2 坐标转换设 ) , , , (2 1 Nx x x ⋯ 与 ) , , , (2 1 Nx x x ⋯ 是一个点在两个不同的坐标系中坐标 ， 并设两组坐标之间存在着 N 个独立的关系式：) , , , () , , , () , , , (2 12 1 2 22 1 1 1N N NNNx x x x xx x x x xx x x x x⋯⋮⋯⋯===简写为N k x x x x xN k k, , 2 , 1 ), , , , (2 1⋯ ⋯ = = （ 3.3 ）式中， ix 是 ix 的单值连续可导函数。 N 个 ix 函数无关的必要与充分条件是j ix x ∂ ∂ / 组成的雅克比行列式不等于零，即0 det2 12221212111≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂≡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=nn n nnnjixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxJ⋯⋮ ⋮ ⋮⋯⋯在这个条件下，由（ 3.3 ）可解得N k x x x x xN k k, , 2 , 1 ), , , , (2 1⋯ ⋯ = = （ 3.4 ）定义式（ 3.3 ） 、式（ 3.4 ）为从一个坐标系到另一个坐标系的坐标转换。2.2 2.2 2.2 2.2 指标与排列符号 指标与排列符号 指标与排列符号 指标与排列符号2.2.1 指标与求和约定引入一下两项约定：（ 1 ）除了特殊说明外，用作上标或小标的拉丁字母指标，都将取从 1 到 N 的值。（ 2 ）若一项中有一个指标重复，就意着要对这个指标遍历范围 N , , 2 , 1 ⋯ 求和 。
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