二维线性系统的平衡点分类总结(2)
在常微分方程发展初期，牛顿、莱不尼兹、欧拉、伯努里(家族)等发现了许多通过初等函数或他们的积分表达式等方法来求常微分方程的通解。但是，Liouville 在 1841 年证明了大多数微分方程都不能求得显式解。所以微分方程的定性理论在理论和实际应用中有头等重要的意义！ 这里所说的微分方程的定性理论是指不通过微分方程的显式解而直接研究解的几何和拓扑性质， 它是法国大数学家 HenriPoincaré在 19 世纪末为赢得奥斯卡国王的大奖研究三体问题时创立的。Birkhoff在 20世纪早期关于拓扑动力系统的公理化为动力系统这一学科建立了大范围的理论框架。动力系统大致可分为微分动力系统、Hamilton 动力系统、拓扑动力系统、无穷维动力系统、复动力系统、遍历论、随机动力系统等方向。常微分方程定性理论的研究方向有线性系统的动力性态、平面动力系统、 稳定性理论、分支与混沌理论等。其中线性系统的动力性态的研究是较为成熟的，而很多非线性系统的性质都通过其线性近似系统的性态来描述。1 基础知识1.1 微分动力系统的基本理论和概念定义[3]令 G 表示实数拓扑加群 R 或整数拓扑加群 Z，X 是拓扑空间，一个连续映射 X X G : 具有以下性质：(1) )), , ( , ( ) , ( x t s x t s 对任意 . , , G t s X x (2) , ) , 0 ( x x 对任意 X x ,则称之为 X 上的一个动力系统，空间 X 称为成为动力系统 的相空间.