摘要：闭区间上连续函数的零点定理在教材[1]中是运用确界定理证明的，本文运用实数完备性基本定理中的其他五个定理进行证明，即运用单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则证明闭区间上连续函数的零点定理。同时给出了零点定理的一些简单应用。60518

毕业论文关键词：零点定理，确界定理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则

Abstract: The zero point theorem of continuous function on a closed interval is proved by the theorem of supremum and infimum in textbook[1] . In this paper, we prove it by  the other five fundamental theorems of completeness theorem, such as the monotone  bounded theorem, the theorem of nested interval theorem, the finite covering theorem,  the accumulation principle and the Cauchy convergence criterion. At the same time, we give some simple application of the zero point theorem.

Key word: the zero point theorem，the theorem of supremum and infimum，the monotone bounded theorem，the theorem of nested interval，the finite covering theorem，the accumulation principle , the Cauchy convergence criterion

目录

1 引言4

2 几个重要定理4

3 零点定理的证明4

  3.1 确界定理证明零点定理4

  3.2 单调有界定理证明零点定理5

  3.3 区间套定理证明零点证明6

  3.4 有限覆盖定理证明零点定理6

  3.5 聚点定理证明零点定理7

  3.6 柯西收敛准则证明零点定理8

4 零点定理的应用9

参考文献12

致谢13

1 引言

   实数完备性定理包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理以及柯西收敛准则，在实数系中这六个定理相互等价，从其中任何一个定理都可以推出其余的五个定理，因此只要其中一个定理可以证明零点定理，那么其他五个定理均可以证明。

2 几个重要的定理[1]源]自=优尔-^论-文"网·www.youerw.com/

定理1  （确界定理）设 为非空数集.若 有上界，则 必有上确界；若 有下界，则 必有下确界.

定理2  （单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理3 （区间套定理）若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 ，使 ，即

                          .

定理4  （有限覆盖定理）若 为闭区间 的一个（无限）开覆盖，则从 中可选出有限个开区间来覆盖 .

定理5  （聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

定理6  （柯西收敛准则）数列 收敛的充要条件是：对任给的 ,存在正整数 ，使得当 时，有 .

定理7  （零点定理）设 是闭区间 上连续的函数，且 （ ， 异号），则至少存在一点 ，使 .

3 零点定理的证明

3.1 确界定理证明零点定理[1]

证明  不妨设 .定义集合 如下：  由于 且 ，所以 为非空有界数集.因此由确界定理知 有上确界，记 .因为 ，由连续函数的局部保号性可知存在 ,使得在 内 ，在 内 ，于是 ，即 .

下证 .假设 ，不妨设 ，由连续函数的局部保号性可知存在 ，使得 ，有

特别地，有则 ，这与 矛盾，所以 .文献综述

3.2 单调有界定理证明零点定理[2]

证明  不妨设 .考察区间 内使 的一切有理点，而 ，由连续函数的局部保号性可知存在 的某个邻域 使 有 ，