级数（2.1）在 上每一点 与其所对应的数项级数（2.3）的和 构成一个定义在 上的函数，称为级数（2.1）的和函数，并且写作

 ，    ，

即

 ，    .

 也就是说，函数项级数（2.1）的收敛性就是指它的部分和函数列（2.2）的收敛性．

 定义在 上的函数项级数

                                              （2.4） 

的部分和函数为 . 当 时，

.

所以几何级数（2.4）在 内收敛于和函数 ；当 时，几何级数是发散的．

定义2.2  设 是函数项级数 的部分和函数列. 若 在数集 上一致收敛于函数 ，则称函数项级数 在 上一致收敛于函数 ，或称 在 上一致收敛．

3. 函数项级数一致收敛性的常规判别法来.自/优尔论|文-网www.youerw.com/

    定理3.1  设函数项级数 定义在数集 上， 为收敛的正项级数，若对一切 ，有

                           （3.1）

则函数项级数 在 上一致收敛．

证明  根据假设正项级数 收敛，由于数项级数的柯西准则，任给正数 ，存在某正整数 ，使得当 以及任何正整数