摘 要 ： 常数变易法对于求解微分方程是一种很有效的方法及重要的数学思想，在求解一阶线性微分方程中有着广泛的应用.本文将介绍运用常数变易法来求解微分方程的数学思想，及其在一阶线性微分方程和高阶线性微分方程的应用.66011

毕业论文关键词 ：常数变易法，微分方程，通解

Abstract：Method of variation of constants is a very effective method and an important mathematical idea for solving differential equations,it has a wide range of application in solving linear first-order differential equation.This article will introduce that the application of the method of variation of constants in solving the first-order linear differential equation and higher order linear differential equations.

Keywords：Method of variation of constants, differential equations, general solution

目   录

1 前 言  4

2 常数变易法 4

3 一阶线性微分方程  4

3.1一阶非齐次线性微分方程的常数变易法 5

4  阶线性微分方程 . 8

4.1二阶线性齐次微分方程的常数变易法 9

4.2二阶线性非齐次微分方程的常数变易法10   

4.3  阶非齐次线性齐次微分方程的常数变易法12

结 论16

参考文献17

1 前言

现在，常微分方程的应用非常广泛，而常数变易法是求解微分方程的一种重要的方法，这是拉格朗日研究了11年的成果.对一些特定的线性微分方程和高阶线性微分方程的求解问题，一般应用常数变易法对其求解.运用常数变易法来解微分方程一般有两种方法，一是利用常数变易法的基本思路步骤来进行求解，二是直接利用其推导出来的常数变易法公式来求解.很多学生在学习微分方程的求解时特别的吃力，其中最难理解的就是为什么要把任意常数 变易成待定函数 ，从而求出原方程的通解.

常数变易法本质上也是一种变量代换的方法，用它来求解一阶线性非齐次微分方程与变量代换并没有原则区别，但是将它推广到求解高阶线性微分方程时，就显示出了它的无穷威力.它的优点在于比变量代换更容易掌握，运用更广泛.

当然就常数变易法来求解微分方程的过程来说，如果遇到较复杂的方程，那么对应的计算量就会加大.但常数变易法作为一种稳定的求解方法，其本身的思路已经是比较完善的了.

2 常数变易法文献综述

定义[1]  在解一阶线性非齐次微分方程  的过程中，将其所对应的齐次线性方程 的通解 中的任意常数 换成 的函数 ，并设其为非齐次线性方程的解，即 ，再把 代入原一阶线性非齐次微分方程中，解得 的一种办法.

本质[1]  常数变易法实质上是未知函数变量代换的过程，它们二者的本质是一样的，只是常数变易法中的变量代换更为复杂.常数变易法的目的是将原方程变换为只含 与 的方程，从而求出 .在解具体方程时，不必记忆通解公式，可以按常数变易法的步骤来解.

3 一阶线性微分方程

定义[2]  方程

                                                     （3.1)

称为一阶线性微分方程.它对于未知函数 及其导数 是一次方程，其中 ， 都是 的已知连续函数.

如果 ，则方程（3.1）成为

                                                           （3.2）