摘 要：本文研究含一类p-q-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程组.利用Nehari流形,在一定条件下,我们得到了弱解的存在性.

毕业论文关键词：p-q-Laplacion算子，Nehari流形,弱解66016

Abstract :  We investigate a class of quasi-linear elliptic system involving p-q-Laplacian operators. Under suitable conditions, we obtain the existence of weak solution with Nehari manifold. 

Keywords : p-q-Laplacian operators, Nehari manifold, weak solution  

目   录

1 前言 4

2 预备知识 7

3 主要结果的证明 9

参考文献15

致谢  17

1 前言

现代科学技术的发展很大程度上依赖于物理,化学,生物学及工程技术等领域的成就和进展,而这些学科自身的精确化,则是取得进展的重要保证.学科的精确化往往是通过建立数学模型来实现的，在精确化过程中提出了大量的非线性问题，许多是非线性偏微分方程（组），这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用，同时也对数学自身的发展有重要的影响.国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程，一部分是拟线性偏微分方程，这些方程都受到了科技界的高度重视.论文网

本文将研究如下含p-q-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程组：

                                    （1.1）

解的存在性和多解性，其中 是 中的有界域， λ ,   >  0, 1  <  q < p  <  N, 1 < r <  ,  .

当  ,   时，方程组（1.1）即为下面的形式：

                       （1.2）

当 ， , , 时，方程组（1.1）即为p-Laplacian方程：

                           （1.3）

关于问题（1.3）和（1.2）的研究效果相当丰富，如在文 中研究了

                 （1.4）

其中 ， , 作者获得了与文 类似的结论. 在 中, Prashanth-Sreenadh 在 ， 的条件下得到了问题（1.4）在单位球 上解的存在性.

Xu 和Yang 在文 中建立了下面问题：

                                （1.5）

解的存在性，其中 ，作者证明了存在常数 ，使得当 时, 问题（1.5）至少存在一个正解.

     关于椭圆型方程组的研究成果也很多，特别是下面形式:

                        （1.6）

其中 , 当 时, Alves在文 研究了（1.6）, 并得到对于任意 问题（1.6）都存在最小能量解, 这儿 表示算子 的第一特征值. 其他的如Han在 中考虑了问题（1.6）的多解性; 当 时, Hsu在文 中研究了问题（1.6）的多解性; 在Hsu之前, Wu在文 中研究了下面的含变号位势的半线性椭圆型方程组：文献综述

            （1.7）

作者证明了当参数 属于 的某个子集时, 问题（1.7）至少存在来年各个正解.

当 ,   , 时，方程组（1.1）即为p-q-Laplacian方程：

                                     （1.8）

问题（1.8）来自一个反应扩散组

 ,                          （1.9）