摘　要：凸函数是一类重要函数，其在不等式证明中的应用十分广泛. 本文通过对凸函数的定义和性质的描述，讨论凸函数在不等式证明中的应用，并证明了几个常见的重要不等式.

毕业论文关键词：凸函数，不等式，琴生不等式66420

Abstract：Convex function is a kind of important function, its application in the proof of inequalities is very extensive. In this paper, we discuss its application in proving inequalities by the definition of convex function and describing its nature, and prove several common inequalities.

Keywords：Convex function;，inequality， Jensen inequality

目  录

1    引言 4

2    预备知识 4

2．1 凸函数的定义 4

2．2 凸函数的充要条件 5

2．3 凸函数的若干运算性质 5

3    与凸函数有关的若干不等式 7

3．1 应用琴生不等式证明  7

3．2凸函数的性质在不等式证明中的应用    9

结论 13

参考文献 14

致谢词 15

1引言

  　不等式的证明方法多种多样, 常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等, 高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大( 小) 值法和泰勒展式等方法.凸函数是一类重要的函数,在不等式的研究中尤为重要,而研究不等式最终归结为研究函数的特性.凸性是一种几何性质,也是一种代数性质.函数的凸性是函数在区间上变化的整体形态.把握区间上的整体形态，不仅可以更加科学,准确的描绘函数的图像，而且有助于对函数的定性分析.

函数的凸性可以被应用在证明一些初等不等式，函数不等式和积分不等式。  文献[1]简要阐述了凸函数的定义和性质，文献[2] 和[3]阐述了一些著名不等式的证明，文献[4] 和[5]则是例举了一些凸函数在不等式证明中应用的实例，文献[6]和[7]是运用琴生不等式证明巧妙证明一些不等式问题.文献综述

本文主要是对凸函数的性质进行一个系统总结, 通过一些关于运用凸函数的性质证明不等式的例题来说明凸函数的应用, 有助于我们加深对凸函数的性质的理解及在不等式证明中的运用. 

2 预备知识

2.1  凸函数的定义

设函数 定义在区间 上，对 ，及 有

(1)若 ，则称 为 上的凸函数,

(2)若 ，则称 为 上的凹函数.

注：若将不等式的不等号“ ”（“  ”）换成严格的不等号“ ”（“  ”），则称 为 上的严格凸（凹）函数.

特别地，当 时，有

(1)如果 则称 为 上的凸函数,

(2)如果 则称 为 上的凹函数.

特别地，取 ，故 ，则有

(1)如果 ，则称 为 上的凸函数,

(2)如果 ，则称 为 上的凹函数.

2.2凸函数的充要条件

定理2.1   为 上的凸函数的充要条件是：对 上的任意三点 ，总有 .

其几何意义是： 为凸函数的充要条件为在曲线 上自左到右依次任取三点 上式表明 连线的斜率不大于 连线的斜率.

定理2.2  设 为区间 上可导函数，同是下述论断互相等价：