摘  要: 傅里叶级数是一种特殊的三角级数，其系数是从可积函数出发由Euler-Fourier公式计算得出.所以，傅里叶系数与可积函数有着紧密的联系.函数的性状：奇偶性、连续性、存在连续导数的阶数、单调性等对傅里叶系数的性质都有影响．本文在赋予函数这些性状的基础上，给出了傅里叶系数所具有的正负性、渐近性、最优性等性质.另外，本文也将这些性质应用在一些证明中，主要是证明Bessel不等式和Parseval等式.66627

毕业论文关键词: 傅里叶系数，性质，证明，应用

Abstract: Fourier series is a special class of trigonometric series, whose coefficients are calculated by the Euler-Fourier formulas according to the integrable functions. Therefore, the Fourier coefficients and integrable functions are closely linked. The natures of the functions such as parity, continuity, continuous derivative order, monotonicity etc. all have influence on the natures of the Fourier coefficients. On the basic of giving functions these traits, we give the Fourier coefficients some natures like positive and negative nature, asymptotic behavior, optimality etc. In addition, we also use these natures in the application of some proof. Here, we mainly prove Bessel inequality and Parseval equation.

Keywords: Fourier coefficients, nature, proof, application

目  录

1  引言 4

2  特殊性状的函数对应傅里叶系数的性质 4

2.1  函数与系数具有相同的线性组合性质 4

2.2  奇、偶函数傅里叶系数的性质 5

2.3  函数与其各阶导函数傅里叶系数的关系 5

2.4  单调函数傅里叶系数的性质 7

3  傅里叶系数的其它性质 9

3.1  傅里叶系数的阶与渐近性质 9

3.2  傅里叶系数的最优性 12

3.2.1  Bessel不等式证明 14

3.2.2  Parseval等式证明 14

结  论 16

参 考 文 献 17

致 谢 18

1  引言

傅里叶级数是一类重要的函数项级数，它与幂级数不同，是一种特殊的三角级数，它的出现对于数学的理论发展和应用都有重要的意义．通常情况下，系数决定级数的性质，所以对于系数性质的讨论对于傅里叶级数及其应用具有重要的作用.

文献[1-6]]均介绍了傅里叶系数的基本性质，但是介绍的方面又有所不同，本文对这些文献介绍的傅里叶系数的性质进行了系统地归纳、总结和推广.文献[1]主要介绍了傅里叶系数的计算公式，由于计算公式形式多样性，本文主要研究以 为周期在区间 上的可积函数的傅里叶系数的性质．另外，文献[1]也介绍了傅里叶系数的阶，渐近性质和最优性，以及利用这些性质证明Bessel不等式和Parseval等式这两个重要不等式和等式，本文也对其给出了详细的证明．文献[3]主要介绍一些特殊性状函数的傅里叶系数的性质，本文利用可积函数的线性组合关系、奇偶性、单调性等性状对傅里叶系数的性质进行研究．文献[5]主要介绍存在连续导数的阶数对傅里叶系数性质的影响，也会给出推广及证明．此外，其它知识点可参考文献[2,4,6]，这里不作详细说明．